Tämä artikkeli menee syvälle aaltoputkien matematiikassa.
Etenkin jos Maxwell ja osittaisdifferentiaalit ovat
ystäviäsi, astu rohkeasti eteenpäin.
Vaikka ne eivät oliskaan ystäviäsi, tästä pitäisi saada
pohjaymmärrystä siihen, miksi lopputuloksena olevat yhtälöt
ovat sellaisia kuin ovat.
Tiivistettyjä lopputuloksia esitetään "Teoria" nimisessä osassa
aaltoputki artikkelissa.
Englanninkielinen termi aaltoputkelle on: waveguide, koska
se ohjaa (guide) sähkömagneettista energiaa sisällään.
Yleistä
Sähkömagneettista tehoa voidaan siirtää ontossa johdeputkessa.
Kun sähkömagneettista kenttää rajoitetaan tällä tavalla, sen etenemistavat
poikkeavat vapaan avaruuden tilanteesta.
Johtavat seinämät sallivat sähkömagneettisen kentän olemassaolon vain kun
johteen pintaa pitkin ei ole sähkökenttää.
Aaltoputken ominaisuudet riippuvat täten sen muodosta ja koosta.
Erilaiset epäjatkuvuudet aaltoputkessa muuttavat sen siirtolinjaominaisuuksia
ja näitä ominaisuuksia voidaan käyttää tuottamaan induktiivista- tai
kapasitiivista reaktanssia.
Sähkö- ja magneettikenttien kuviot ovat erilaisia eri moodeissa ja
niille onkin kehitetty vakio nimistö sen mukaan, onko sähkökenttä (E)
vai magneettikenttä (M) nolla etenemissuuntaan (putken pituusakseli)
(T = Transversal = poikittainen) josta saadaan kolme
yhdistelmää: TE, TM, TEM.
Aaltoputkissa vain TE ja TM ovat mahdollisia.
Näihin lisätään suffiksit (TEmn, TMmn),
jotka kertovat että montako kertaa kyseinen kenttä muuttuu annetulla akselilla.
Merkintätapa on, että ensimmäinen numero (m) on suorakaideputken pidemmän
sivun (a) suuntaan olevien puoliaaltojen määrän ja toinen (n) on
lyhyemmän sivun (b).
Pyöreälle putkelle ensimmäinen numero (m) on putken sisäpinnan ympäri
olevien täysien sähkökentän aaltojen määrä (ei puoliaaltojen!) ja toinen
(n) on putken lävistäjän läpi olevien puoliaaltojen määrä.
Seuraavaksi kirjoitetaan Maxwellin yhtälöillä suorakulmaisen aaltoputken
sisäisten kenttien olemus ensin tavallisessa oikeakätisessä suorakulmaisessa
koordinaatistossa, jossa z on putken pituussuuntaan ja positiivinen
signaalin etenemissuuntaan.
Pyöreän aaltoputken tarpeisiin tehdään sama harjoitus polaarikoordinaatistolla,
jossa z on samoin kuin suorakulmaisella tapauksella.
Pyörittelemällä Maxwellin yhtälöitä ja kieltämällä tapaus:
m = n = 0 saadaan sitten...
Suorakaideaaltoputki
Suorakaideaaltoputki on ontto metalliputki, jonka poikkileikkaus
on suorakaide.
Putken johtavat seinät pitävät sähkömagneettisen kentän sisällään
ja näin ohjaavat niitä.
Useita erilaisia sähkömagneettisten kenttien konfiguraatioita ('moodeja')
voi samanaikaisesti olla olemassa aaltoputkessa.
Kun sähkömagneettisen kentän "aallot" kulkevat pitkin johdetta (putkea),
ne heijastelevat edestakaisin seinien välillä.
Tästä seuraa, että joko sähkökenttä tai magneettikenttä on etenemissuuntainen,
eli se ei enää olekaan poikittainen sähkömagneettinen aalto
(Transversal electromagnetic wave - TEM).
Oheinen kuva esittää, miten mikä tahansa säännöllinen tasoaalto voidaan
häviöttömässä johteessa esittää TE ja TM -aalloiksi.
Tasoaallon heijastuminen aaltoputkessa
Kun aallonpituus on se jaettavissa putken pituussuuntaiseen () ja siihen nähden kohtisuoraan ('normaaliin',
)
yhtälöinä:
|
(eq.1)
|
missä on heijastuvan aallon heijastuskulma
ja on saapuvan signaalin aallonpituus vapaassa
väliaineessa (jos putkessa olisi jotain muuta kuin ilmaa/tyhjöä.)
Aaltoputkessa oleva tasoaalto on nähtävissä kahtena komponenttina:
ensimmäinen on seisova aalto joka on kohtisuorassa putken heijastavia
seiniä kohtaan ja toinen on liikkuva aalto joka kulkee heijastavien
seinien kanssa samaan suuntaan.
Häivöttömässä aaltoputkessa nämä etenemistila (moodit) voidaan luokitella
olemaan joko transverse electric (TE), tai transverse magnetic (TM).
Suorakaideputkissa näitä moodeja kutsutaan nimillä: TEmn ja
TMmn, missä m laskee puolia aallonpituuksia
sähkö- tai magneettikentän voimakkuuksia x-koordinaatin
(yleensä suorakaideputken pidemmän sivun) suuntaan.
Samoin n kertoo puolien aallonpituuksien määrän y-koordinaatin
(yleensä suorakaideputken lyhyemmän sivun) suuntaan.
Aaltoyhtälöiden ratkaisuja suorakulmaisissa koordinaateissa
Aaltoyhtälöille voidaan tarjota ratkaisut sekä aika- että taajuusdomaineissa.
Yksinkertaisuuden vuoksi käsittelemme nyt kuitenkin vain siniaallon
vakaan tilan (steady state, tai taajuusdomain!) ratkaisuja oikeakätisessä
suorakulmaisessa koordinaatistossa.
Sähköiset ja magneettiset aaltoyhtälöt voidaan esittää taajuusdomainissa
seuraavin vektoriyhtälöin:
|
|
(eq.2-E)
|
|
|
(eq.2-H)
|
jossa:
|
(eq.3)
|
Suorakulmaisissa (ja yleensä oikeakätisissä) koordinaateissa lausuttavat E
tai H noudattavat kompleksista skalaariaaltoyhtälöä, alias Helmholtzin yhtälöä.
|
(eq.4)
|
Helmholtzin yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa on:
|
(eq.5)
|
Tämä on lineaarinen ja homogeeninen osittaisdifferentiaaliyhtälö kolmessa ulottuvuudessa.
Käyttämällä muuttujien erottelua, ratkaisuksi saadaan:
|
(eq.6)
|
missä esim. on funktio pelkän x-koordinaatin suhteen.
Sijoittamalla yhtälö (eq.6) yhtälöön (eq.5) ja jakamalla tulos yhtälöllä (eq.6), saadaan:
|
(eq.7)
|
Koskapa edellisten kolmen termin summa on vakio ja jokainen niistä
termeistä on oma itsenäinen riippumaton muuttuja, jokaisen osatermin
pitää olla vakion kokoinen.
Olkoot yllä olevat kolme termiä: ,
osittaisdifferentiaalin erottelu voidaan esittää muodossa:
|
(eq.8)
|
Yleinen ratkaisu kullekin (eq.7) differentiaaliyhtälölle on:
|
|
(eq.9-x)
|
|
|
(eq.9-y)
|
|
|
(eq.9-z)
|
ja ne ovat käännettävissä muotoon:
|
|
(eq.10-x)
|
|
|
(eq.10-y)
|
|
|
(eq.10-z)
|
Suorakulmaisissa koordinaateissa Helmholtz yhtälöjen täydet ratkaisut ovat näin ollen:
|
|
|
|
|
(eq.11)
|
Aaltojen eteneminen aaltoputkessa ajatellaan konvention mukaan
olevan positiiviseen z-koordinaatin suuntaan.
On myöskin huomiolle pantavaa, että aaltoputken etenemisvakio
putkessa poikkeaa putkea täyttävän väliaineen
etenemisvakiosta ().
Olkoot:
|
(eq.12)
|
missä
|
(eq.13)
|
yleensä tämä tunnetaan termillä cutoff wave number.
Häviöttömälle eristeelle/täyteaineelle käytämme sijoitusta
ja saamme:
|
(eq.14)
|
Etenemävakiolle aaltoputkissa saamme kolme eri tapausta:
- Tapaus 1:
-
Aallon etenemistä ei tapahdu (vaan voimakasta häipymistä) jos
ja .
Edellä oleva on ns. kriittinen raja alarajataajuudelle ja se voidaan muotoilla:
|
(eq.15)
|
- Tapaus 2:
-
Aaltomuoto etenee putkessa, jos ja:
|
(eq.16)
|
Tämä merkitsee, että taajuuden pitää olla alarajan yläpuolella, jotta
aaltomuoto etenisi putkessa.
- Tapaus 3:
-
Aaltomuoto vaimenee, jos ja:
|
(eq.17)
|
joka kertoo, että operoitaessa taajuudella joka on alarajan alapuolella,
aaltomuoto vaimenee eksponentiaalisesti suhteessa tekijään
, eikä aaltomuoto etene,
koska etenemisvakio on reaaliluku.
Siksi ratkaisuksi Helmholtzin yhtälölle suorakulmaisissa koordinaateissa voidaan muotoilla:
|
(eq.18)
|
TE-muodot suorakulmaisessa aaltoputkessa
Käytämme edelleen oletusta, että aaltomuodot etenevät positiiviseen
z-akselin suuntaan oikeakätisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.
TEmn-etenemismuotojen ominaispiirre aaltoputkessa on, että
.
Toisin sanoen, magneettikentän z-komponentin, ,
pitää olla olemassa, että energiaa siirtyisi putkessa.
Seuraten edellä mainitusta Helmholtzin yhtälöstä:
|
(eq.19)
|
jolle saadaan ratkaisu joka on muotoa:
|
|
|
|
|
(eq.20)
|
jota rajoittavat annetut rajaehdot, missä:
ja
sijoitettiin yhtälöön.
Häivöttömälle eristeelle Maxwellin curl-yhtälöt taajuusdomainissa ovat:
|
|
(eq.21-E)
|
|
|
(eq.21-H)
|
suorakulmaisissa koordinaateissa niiden komponentit ovat:
|
|
(eq.22-Hx)
|
|
|
(eq.22-Hy)
|
|
|
(eq.22-Hz)
|
|
|
(eq.22-Ex)
|
|
|
(eq.22-Ey)
|
|
|
(eq.22-Ez)
|
Sijoittamalla edellisiin yhtälöihin
ja , saadaan yksinkertaisemmat yhtälöt:
|
|
(eq.23-Hx)
|
|
|
(eq.23-Hy)
|
|
|
(eq.23-Hz)
|
|
|
(eq.23-Ex)
|
|
|
(eq.23-Ey)
|
|
|
(eq.23-Ez)
|
Ratkaisemalla näistä kuudesta yhtälöstä muuttujan suhteen ja
tekemällä sijoitus , saadaan TE-moodin kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa:
|
|
(eq.24-Ex)
|
|
|
(eq.24-Ey)
|
|
|
(eq.24-Ez)
|
|
|
(eq.24-Hx)
|
|
|
(eq.24-Hy)
|
|
|
(eq.20)(eq.24-Hz)
|
|
|
|
Differentioimalla yhtälö (eq.24-Hz) x:n ja y:n suhteen ja
sitten sijoittamalla tulokset muista (eq.24) ryhmän yhtälöistä siihen,
saadaan varsinaiset kenttäyhtälöt.
Rajatilojen määritykset sovitetaan saatuihin uusiin yhtälöihin siten,
että joko E-kentän tangentti, tai H-kentän normaali
katoaa johteiden pinnoilla.
Koska silloin , on
kun y = 0 tai b.
Siten .
Koskapa silloin
kun x = 0 tai a. Siten myös .
Noin ylipäätään voidaan vetää johtopäätös, että :n
normaalin derivaatan pitää kadota johtavalla pinnalla, eli johteen
seinillä:
|
(eq.25)
|
Tästä seuraa, että magneettikenttä positiiviseen z-akselin suuntaan
voidaan kirjoittaa muotoon:
|
(eq.26)
|
missä on amplitudivakio.
Sijoittamalla yhtälö (eq.26) ryhmän (eq.24) yhtälöihin, saadaan
TEmn kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa:
|
|
(eq.27-Ex)
|
|
|
(eq.27-Ey)
|
|
|
(eq.27-Ez)
|
|
|
(eq.27-Hx)
|
|
|
(eq.27-Hy)
|
|
|
(eq.26)(eq.27-Hz)
|
edellä m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, mutta
arvo m = n = 0 ei ole sallittu.
Aloitetaan koostamaan muutamia strategisia yhtälöitä:
Apumuuttuja:
|
(eq.28)
|
on signaalin vaihenopeus putken sisäisessä eristemateriaalissa,
ilmalle/tyhjölle se on valonnopeus.
Yhtälön (eq.12) mukaan ns. Cutoff wave number on:
|
|
(eq.29)
|
|
|
(eq.30)
|
jossa a ja b on metreinä.
Yhtälön (eq.15) mukaan aaltoputken alarajataajuus on:
|
(eq.31)
|
jota vastaava aallonpituus:
|
(eq.32)
|
Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista !
Etenemisvakio (tai tässä vaihevakio) kuten yhtälö (eq.14) sen ilmaisee on
lausuttavissa muodossa:
|
(eq.33)
|
Vaihenopeus positiivizeen z-akselin suuntaan:
|
(eq.34)
|
Ominaisaaltoimpedanssi TE-moodeille voidaan lausua yhtälöistä
(eq.23-Hx ja eq.23-Hy) johtamalla muotoon:
|
(eq.35)
|
missä: on eristeen ominaisimpedanssi.
Aaltoputken aallonpituus on:
|
(eq.36)
|
missä: on aallonpituus putken sisäeristeessä.
TM-aaltoputkimoodit suorakaideputkelle
TMmn-etenemismuotojen ominaispiirre aaltoputkessa on, että
.
Toisin sanoen, sähkökentänkentän z-komponentin, ,
pitää olla olemassa, että energiaa siirtyisi putkessa.
Seuraten edellä mainitusta, Helmholtzin yhtälöstä tulee:
|
(eq.37)
|
jolle saadaan ratkaisu joka on muotoa:
|
|
|
|
|
(eq.38)
|
jonka varsinaista ratkaisua varten sitä täytyy rajoittaa
rajapintaehdoilla.
Tämä on samanlaista, kuin TE-moodien haku.
Rajapintaehto vaatii, että kenttä häviää (nollaan) aaltoputken seinillä,
koska sähkökentän tangenttikomponentin () tulee olla nolla johtavalla
pinnalla.
Näin ollen koska kun , silloin .
Samoin -ehto reunoilla 0, b pakottaa: .
Näin yhtälö (eq.38) pelkistyy muotoon:
|
(eq.39)
|
missä .
Jos m tai n ovat nollia, kentät vaimenevat nollaan.
Siksi suorakulmaisessa putkessa ei ole TM01 tai TM10 -moodeja, jonka
vuoksi TE10-moodi on dominoiva suorakulmaisessa putkessa, jonka a > b.
Tapaukselle saadaan kenttäyhtälöt laventamalla
:
|
|
(eq.40-Hz)
|
|
|
(eq.40-Hy)
|
|
|
(eq.40-Hx)
|
|
|
(eq.40-Ex)
|
|
|
(eq.40-Ey)
|
|
|
(eq.40-Ez)
|
Näiden yhtälöiden samanaikainen ratkaisu :n suhteessa muuttujille
ja tekemällä sijoitus
, saadaan kenttäyhtälöt TM-moodeille:
|
|
(eq.41-Ex)
|
|
|
(eq.41-Ey)
|
|
|
(eq.41-Ez)(eq.39)
|
|
|
(eq.41-Hx)
|
|
|
(eq.41-Hy)
|
|
|
(eq.41-Hz)
|
Differentoimalla edellä olevat yhtälöt x:n ja y:n suhteen
sekä sijoittamalla tulokseen yhtälöiden (eq.41) tulokset saadaan
varsinaiset TMmn-moodin kenttäyhtälöt suorakulmaisessa
aaltoputkessa muotoon:
|
|
(eq.42-Ex)
|
|
|
(eq.42-Ey)
|
|
|
(eq.42-Ez)(eq.39)
|
|
|
(eq.42-Hx)
|
|
|
(eq.42-Hy)
|
|
|
(eq.42-Hz)
|
Useimmat TM-moodin ominaisyhtälöistä ovat identtisiä
TE-moodin kanssa, mutta yksi poikkeuskin on:
Alarajataajuus on kuten TE-moodilla yllä.
Etenemisvakio on kuten TE-moodilla yllä.
Vaihenopeus on kuten TE-moodilla yllä.
Ominaisaaltoimpedanssi TM-moodeille voidaan lausua:
|
(eq.43-Zg)
|
missä: on eristeen
ominaisimpedanssi kuten TE-moodilla.
Aaltoputken aallonpituus on kuten TE-moodilla.
Tehon siirto suorakulmaisessa aaltoputkessa
Aaltoputkessa siirrettävä teho ja putken seinämähäviöt
voidaan laskea kompleksisessa Poynting teoreemalla.
Lähtökohtana pidetään tilannetta, jossa aaltoputki on äärettömän
pitkä suhteessa aallonpituuteen ja että se on päätetty ideaaliseen kuormaan
siten, ettei päistä tule heijastuksia.
Aaltoputkessa siirrettävä teho on lausuttavissa:
|
(eq.44)
|
Häviöttömälle eristeelle saadaan aaltoputken läpi kulkevan tehon aika-keskiarvo lausuttua:
|
(eq.45)
|
missä:
Näin TEmn-moodeille on keskimääräinen suorakaideaaltoputken läpi kulkeva teho:
|
(eq.46-TE)
|
Vastaavasti TMmn-moodeille se on:
|
(eq.46-TM)
|
edellä on eristeaineen ominaisimpedanssi.
Tehohäviö suorakulmaisessa aaltoputkessa
Suorakulmaisessa aaltoputkessa on kahdenlaisia häviöitä:
- eristeaineen häviöt
- putken seinien ohmiset häviöt
Eristeaineen häviöt
Aloitetaan asian tarkastelu putkea täyttävän eristeaineen (tyhjön/ilman) häivöistä.
Pienihäviöisen rajattoman eristeaineen (missä )
tasoaallon etenemisvakio voidaan esittää:
|
(eq.47)
|
Näin suorakulmaisen aaltoputken eristeaineen häviöt TEmn
ja TMmn-moodeissa ovat:
TE-mode:
|
|
(eq.48-TE)
|
TM-mode:
|
|
(eq.48-TM)
|
Taajuuden f ollessa paljon yli rajataajuuden (),
vaimennusvakio lähestyy rajattoman eristeaineen ominaisuuksia (eq.47).
Mutta kun taajuus on paljon alle rajataajuuden, vaimennusvakio kasvaa erittäin suureksi ja
aaltomuoto ei käytännössä etene.
Aaltoputken seinien tehohäviöt
Seuraavaksi tutkitaan aaltoputken seinissä tapahtuvia tehohäviöitä.
Aaltoputkessa etenevien sähkö- ja magneettikenttien intensiteetit voidaan
lausua muodossa:
|
(eq.49-E)
|
|
(eq.49-H)
|
missä ja ovat kenttäintensiteetit
z-akselilla kohdassa .
On huomionarvoista todeta, että pienihäviöisessä putkessa tehovirran
aikakeskiarvo pienenee suhteessa tekijään .
Näin ollen:
|
(eq.50)
|
Erityisesti kun ja :
|
(eq.51)
|
Lopulta:
|
(eq.52)
|
missä on tehohäviö yksikköpituutta kohti.
Koskapa sähkö- ja magneettikentät aaltoputken johdepinnalla vaimenevat
eksponentiaalisesti mentäessä syvemmälle seinämän aineeseen, on helpompi
määritellä aaltoputken pinnan ominaisvastus:
|
(eq.53)
|
missä (rho) seinämän materiaalin ominaisvastus ohmi-metriä,
(sigma) johtavuus siemensseinä,
(delta) tunkeumasyvyys metreinä.
Tehohäviö per pituusmittayksikkö saadaan integroimalla pituusmittayksikön
matkalla johteen pinnan tehotiheys:
|
W/yksikköpituus
|
(eq.54)
|
missä on johteen seinällä olevan magneettikentän intensiteetin
tangenttikomponentti.
Sijoittamalla yhtälöt (eq.45) ja (eq.54) yhtälöön (eq.52) saadaan:
|
(eq.55)
|
missä:
|
|
|
(eq.56)
|
|
|
|
(eq.57)
|
Pyöreä aaltoputki
Pyöreä aaltoputki on poikkileikkauksen muotoaan lukuunottamatta
kuten suorakaideputki ja se kykenee kuljettamaan sisällään
sähkömagneettista tasoaaltoa.
Muunkinlaiset poikkileikkauksen geometriat kykenevät kuljettamaan
sähkömagneettista energiaa, esim. elliptiset putket.
Aaltoyhtälöt sylinterikoordinaateissa
Aivan kuten edellä suorakaideputkille, tässäkin pitäydytään vain
siniaaltojen pysyvän olotilan ( = taajuusdomainin ) ratkaisujen etsintään.
Käytettävä koordinaattijärjestelmä:
- (fii): x-y -tason origon ympäri x-akselista laskettava kulma
- r: Etäisyys z-akselista
- a: aaltoputken sisäpinnan säde
- z: z-koordinaatti, l. etäisyys x-y-tasosta.
Skalaarimuotoinen Helmholtz-yhtälö sylinterikoordinaateissa saa muodon:
|
(eq.58)
|
Käyttäen muuttujien erottelua tämä saadaan muotoon:
|
(eq.59)
|
missä:
- = r-koordinaatin funktio
- = -koordinaatin funktio
- = z-koordinaatin funktio
Sijoittamalla yhtälö (eq.59) yhtälöön (eq.58) ja jakamalla tulos yhtälöllä (eq.59), saadaan:
|
(eq.60)
|
Koskapa kolmen riippumattoman termin summa on vakio, jokaisen kolmesta termistä pitää olla vakio.
Asetetaan nyt kolmas termi vakioksi :
|
(eq.61)
|
Yhtälön ratkaisu on muotoa:
|
(eq.62)
|
missä on aallon etenemisvakio aaltoputkessa.
Sijoittamalla kolmanneksi termiksi yhtälön (eq.60) vasemmalle puolelle
ja kertomalla saatu yhtälö :lla, saadaan:
|
(eq.63)
|
Tuon toinen termi on pelkästään :n suhteen oleva funktio, joten sijoittamalla
sen paikalle vakio: , saadaan:
|
(eq.64)
|
Tälle yhtälölle löytyy ratkaisuksi myös harmoninen funktio:
|
(eq.65)
|
Korvaamalla yhtälön (eq.63) termi termillä
ja kertomalla tulos :llä, saadaan:
|
(eq.66)
|
tämä on n-kertaluvun Besselin-funktio, missä:
|
(eq.67)
|
joka tunnetaan Besselin funktion ominaisyhtälönä.
Häviöttömälle aaltoputkelle tämä ominaisyhtälö sieventyy muotoon:
|
(eq.68)
|
Tämän Besselin yhtälön ratkaisut ovat:
|
(eq.69)
|
missä on n:nnen kertaluokan ensimmäisen tyypin
Besselin funktio joka kuvaa putken sisällä seisovaa aaltoa
r:n arvoilla nollasta a:han.
Samaan tapaan on n:nen kertaluvin toisen tyypin
Besselin funktio joka kuvaa seisovaa aaltoa: r:n
ollessa a:ta suurempi.
Näin saamme Helmholtzin yhtälön ratkaisuksi sylinterikoordinaateissa:
|
(eq.70)
|
Kuitenkin kun , on ja funktio
lähestyy ääretöntä ja siksi .
Tästä kaikesta seuraa, että z-akselilla kentän täytyy olla äärellinen.
Tekemällä lisää trigonometrista jumppaa, saamme (eq.70):n sin/cos termeistä:
|
|
|
|
|
(eq.71)
|
josta edelleen Helmholtzin yhtälö pelkistyy:
|
(eq.72)
|
TE-aaltoputkimoodit pyöreälle putkelle
Katsotaan tilannetta, jossa aalto etenee putkessa positiiviseen z-akselin suuntaan edellä
esitellyin koordinaatein.
Pyöreän aaltoputken TEnp-moodeille tunnusomaista on, että
Tämä tarkoittaa, että magneettikentän z-komponentin pitää olla olemassa jotta
putkessa esiintyy energian siirtoa.
Helmholtzin yhtälö :lle sylinterimäisessä putkessa on lausuttavissa:
|
(eq.73)
|
sen ratkaisu on yhtälön (eq.72) mukaan:
|
(eq.74)
|
joihin vaikuttavat vielä reunaehdot..
Häviöttömälle eristeaineelle (tyhjölle), Maxwellin curl-yhtälöt taajuus-domainissa ovat:
|
|
(eq.75-H)
|
|
|
(eq.75-E)
|
Sylinterikoordinaateissa näiden komponenttiesitys on:
|
|
(eq.76-Hr)
|
|
|
(eq.76-Hp)
|
|
|
(eq.76-Hz)
|
|
|
(eq.76-Er)
|
|
|
(eq.76-Ep)
|
|
|
(eq.76-Ez)
|
Kun differentiaatio korvataan
ja sähkökentän z-komponentti
nollalla, sekä tehdään sijoitus
, saadaan TE-moodin yhtälöt
pyöreässä aaltoputkessa :n suhteen lausuttuna:
|
|
|
(eq.77-Er)
|
|
|
|
(eq.77-Ep)
|
|
|
|
(eq.77-Ez)
|
|
|
|
(eq.77-Hr)
|
|
|
|
(eq.77-Hp)
|
|
|
|
(eq.77-Hz)
|
Aaltoputkessa yhtälöiden ratkaisuissa putken sisäpinnalla pitää sähkökentän
komponentin kadota, tai että
magneettikentän r-komponentin pitää kadota.
Näinollen:
|
kun
|
|
|
|
|
kun
|
|
|
|
Tämä ehto voidaan lausua myös yhtälön (eq.74) tapaan muodossa:
|
(eq.78)
|
ja siinä nimenomaan:
|
(eq.79)
|
missä on :n derivaatta.
Koskapa on oskilloiva funktio, myös
on oskilloiva.
Tästä seuraa, että on olemassa ääretön määrä
arvoja, jotka toteuttavat yhtälön (eq.78) ehdon.
Nämä pisteet ovat paikallisia maksimeja ja minimejä Besselin funktiolla.
p:nnes nolla TEnp moodeille
p
|
n=
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
1
|
|
3.832
|
1.841
|
3.054
|
4.201
|
5.317
|
6.416
|
2
|
|
7.016
|
5.331
|
6.706
|
8.015
|
9.282
|
10.520
|
3
|
|
10.173
|
8.536
|
9.969
|
11.346
|
12.682
|
13.987
|
4
|
|
13.324
|
11.706
|
13.190
|
|
|
|
Koska pienin arvo on moodilla TE11, se on pyöreän
aaltoputken dominoiva TE-moodi. Kuten myöhemmin näemme, TM-moodien
pienin indeksi on tätä suurempi ja siksi tämä TE-moodi on myös
pyöreän aaltoputken dominoiva moodi.
Kirjoittamalla :n arvot muotoon:
|
(eq.80)
|
Sijoittamalla yhtälö (eq.74) yhtälöihin (eq.77), sekä käyttämällä
ekvivalenttiutta: saamme:
|
|
|
(eq.81-Er)
|
|
|
|
(eq.81-Ep)
|
|
|
|
(eq.81-Ez)
|
|
|
|
(eq.81-Hr)
|
|
|
|
(eq.81-Hp)
|
|
|
|
(eq.81-Hz)
|
edellä n = 0, 1, 2, 3, ... ja p = 1, 2, 3, 4, ...
Moodin ensimmäinen indeksi n esittää täysiä kenttävoimakkuuden muutosjaksoja
täyden poikittaisen kierroksen matkalla.
Toinen indeksi p kertoo säteittäisen sähkökentän nollien määrän
ja jos z-akselille tarjotaan nollaa, sitä ei hyväksytä.
Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:
|
(eq.82)
|
joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.
Etenemisvakiota määrittävät ryhmän (eq.77) yhtälöt ja se on:
|
(eq.83)
|
Cutoff wave number on sellainen, missä moodin etenemisvakio katoaa:
|
(eq.84)
|
Alarajataajuus on puolestaan:
|
(eq.85)
|
sitä vastaava aallonpituus:
|
(eq.85)
|
Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!
TE-moodin vaihenopeus:
|
(eq.86)
|
Aallonpituus:
|
(eq.87)
|
jossa on aallonpituus täytteenä
olevassa eristeaineessa.
Aaltoimpedanssi:
|
(eq.88)
|
missä on eristeaineen
ominaisimpedanssi.
TM-aaltoputkimoodi pyöreälle putkelle
Seuraavaksi tarkastellaan tilannetta, jossa magneettikenttä on etenemäsuuntaan
nähden poikittainen, Transverse Magnetic eli TM.
Pyöreässä aaltoputkessa TMnp-moodin ominaispiirteenä on:
. Samanaikaisesti sähkökentän z-komponentin
pitää poiketa nollasta, jotta aaltoputkessa tapahtuu energian siirtoa.
Tästä seuraten saamme Helmholtzin yhtälön komponentille
muotoon:
|
(eq.89)
|
sille saadaan yhtälön (eq.72) mukaan ratkaisuksi:
|
(eq.90)
|
jota rajoittavat muutamat reunaehdot, mm. että sähkökentän tangenttiaalinen
komponentti katoaa aaltoputken sisäpinnalla, eli:
kun Tästä seuraa, että:
|
(eq.91)
|
Koskapa on oskilloivien funktioiden
joukko, sille on olemassa ääretön määrä ratkaisuja (juuria).
Muutamia alkupään juuria tarjotaan oheisessa taulukossa:
p:nnes nolla TMnp moodeille
p
|
n=
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
1
|
|
2.405
|
3.832
|
5.136
|
6.380
|
7.588
|
8.771
|
2
|
|
5.520
|
7.106
|
8.417
|
9.761
|
11.065
|
12.339
|
3
|
|
8.645
|
10.173
|
11.620
|
13.015
|
14.372
|
|
4
|
|
11.792
|
13.324
|
14.796
|
|
|
|
Näistä arvoista pienin on moodilla, TM01 joka on siten
TM-moodeista dominoiva, mutta on silti isompi, kuin TE-moodin pienin
ja siten ei ole aaltoputken dominoiva moodi.
Ehdolla ja
pyöreän aaltoputken kenttäyhtälöistä muodostuu sijoitusten
ja
jälkeen:
|
|
|
(eq.92-Er)
|
|
|
|
(eq.92-Ep)
|
|
|
|
(eq.92-Ez)
|
|
|
|
(eq.92-Hr)
|
|
|
|
(eq.92-Hr)
|
|
|
|
(eq.92-Hz)
|
Differentoimalla yhtälö (eq.90) z:n suhteen ja sijoittamalla
tulos yhtälöryhmään (eq.91), sekä tekemällä sijoitukset:
, sekä missä n = 0, 1, 2, 3, ... ja
p = 1, 2, 3, 4, ...
saadaan pyöreän aaltoputken TMnp-moodin kenttäyhtälöiksi:
|
|
(eq.93-Er)
|
|
|
(eq.93-Ep)
|
|
|
(eq.93-Ez)
|
|
|
(eq.93-Hr)
|
|
|
(eq.93-Hp)
|
|
|
(eq.93-Hz)
|
Useimmat TM-moodin ominaisyhtälöistä ovat identtisiä TE-moodin kanssa,
mutta jotkin eivät ole.
Seuraavassa esitellään kaikki eroavat:
Apumuuttujana käytettävä vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:
joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.
Etenemisvakio on muotoa: (vertaa eq.83)
|
(eq.94)
|
Cutoff wave number on sellainen, missä etenemisvakio katoaa (nollaan):
|
(eq.95)
|
Moodin alarajataajuus:
|
(eq.96)
|
sitä vastaava aallonpituus:
|
(eq.97)
|
Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!
TM-moodin vaihenopeus on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.
(eq.86)
Aallonpituus on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.
(eq.87)
Aaltoimpedanssi on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.
(eq.88)
TEM-moodit pyöreässä aaltoputkessa