Aaltoputkien teoria

Tämä artikkeli menee syvälle aaltoputkien matematiikassa. Etenkin jos Maxwell ja osittaisdifferentiaalit ovat ystäviäsi, astu rohkeasti eteenpäin. Vaikka ne eivät oliskaan ystäviäsi, tästä pitäisi saada pohjaymmärrystä siihen, miksi lopputuloksena olevat yhtälöt ovat sellaisia kuin ovat.

Tiivistettyjä lopputuloksia esitetään "Teoria" nimisessä osassa aaltoputki artikkelissa.

Englanninkielinen termi aaltoputkelle on: waveguide, koska se ohjaa (guide) sähkömagneettista energiaa sisällään.

Yleistä

Sähkömagneettista tehoa voidaan siirtää ontossa johdeputkessa. Kun sähkömagneettista kenttää rajoitetaan tällä tavalla, sen etenemistavat poikkeavat vapaan avaruuden tilanteesta. Johtavat seinämät sallivat sähkömagneettisen kentän olemassaolon vain kun johteen pintaa pitkin ei ole sähkökenttää. Aaltoputken ominaisuudet riippuvat täten sen muodosta ja koosta. Erilaiset epäjatkuvuudet aaltoputkessa muuttavat sen siirtolinjaominaisuuksia ja näitä ominaisuuksia voidaan käyttää tuottamaan induktiivista- tai kapasitiivista reaktanssia.

Sähkö- ja magneettikenttien kuviot ovat erilaisia eri moodeissa ja niille onkin kehitetty vakio nimistö sen mukaan, onko sähkökenttä (E) vai magneettikenttä (M) nolla etenemissuuntaan (putken pituusakseli) (T = Transversal = poikittainen) josta saadaan kolme yhdistelmää: TE, TM, TEM. Aaltoputkissa vain TE ja TM ovat mahdollisia. Näihin lisätään suffiksit (TE_mn, TM_mn), jotka kertovat että montako kertaa kyseinen kenttä muuttuu annetulla akselilla.

Merkintätapa on, että ensimmäinen numero (m) on suorakaideputken pidemmän sivun (a) suuntaan olevien puoliaaltojen määrän ja toinen (n) on lyhyemmän sivun (b).

Pyöreälle putkelle ensimmäinen numero (m) on putken sisäpinnan ympäri olevien täysien sähkökentän aaltojen määrä (ei puoliaaltojen!) ja toinen (n) on putken lävistäjän läpi olevien puoliaaltojen määrä.

Seuraavaksi kirjoitetaan Maxwellin yhtälöillä suorakulmaisen aaltoputken sisäisten kenttien olemus ensin tavallisessa oikeakätisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa, jossa z on putken pituussuuntaan ja positiivinen signaalin etenemissuuntaan.

Pyöreän aaltoputken tarpeisiin tehdään sama harjoitus polaarikoordinaatistolla, jossa z on samoin kuin suorakulmaisella tapauksella.

Pyörittelemällä Maxwellin yhtälöitä ja kieltämällä tapaus: m = n = 0 saadaan sitten...

Suorakaideaaltoputki

Suorakaideaaltoputki on ontto metalliputki, jonka poikkileikkaus on suorakaide. Putken johtavat seinät pitävät sähkömagneettisen kentän sisällään ja näin ohjaavat niitä. Useita erilaisia sähkömagneettisten kenttien konfiguraatioita ('moodeja') voi samanaikaisesti olla olemassa aaltoputkessa.

Kun sähkömagneettisen kentän "aallot" kulkevat pitkin johdetta (putkea), ne heijastelevat edestakaisin seinien välillä. Tästä seuraa, että joko sähkökenttä tai magneettikenttä on etenemissuuntainen, eli se ei enää olekaan poikittainen sähkömagneettinen aalto (Transversal electromagnetic wave - TEM). Oheinen kuva esittää, miten mikä tahansa säännöllinen tasoaalto voidaan häviöttömässä johteessa esittää TE ja TM -aalloiksi.

Tasoaallon heijastuminen aaltoputkessa

Kun aallonpituus $\lambda \,$ on se jaettavissa putken pituussuuntaiseen ($\lambda _{p}\,$) ja siihen nähden kohtisuoraan ('normaaliin', $\lambda _{n}\,$) yhtälöinä:

$\lambda _{n}={\frac {\lambda }{\cos \theta }}\qquad \lambda _{p}={\frac {\lambda }{\sin \theta }}\,$ (eq.1)

missä $\theta \,$ on heijastuvan aallon heijastuskulma ja $\lambda \,$ on saapuvan signaalin aallonpituus vapaassa väliaineessa (jos putkessa olisi jotain muuta kuin ilmaa/tyhjöä.)

Aaltoputkessa oleva tasoaalto on nähtävissä kahtena komponenttina: ensimmäinen on seisova aalto joka on kohtisuorassa putken heijastavia seiniä kohtaan ja toinen on liikkuva aalto joka kulkee heijastavien seinien kanssa samaan suuntaan. Häivöttömässä aaltoputkessa nämä etenemistila (moodit) voidaan luokitella olemaan joko transverse electric (TE), tai transverse magnetic (TM).

Suorakaideputkissa näitä moodeja kutsutaan nimillä: TE_mn ja TM_mn, missä m laskee puolia aallonpituuksia sähkö- tai magneettikentän voimakkuuksia x-koordinaatin (yleensä suorakaideputken pidemmän sivun) suuntaan. Samoin n kertoo puolien aallonpituuksien määrän y-koordinaatin (yleensä suorakaideputken lyhyemmän sivun) suuntaan.

Aaltoyhtälöiden ratkaisuja suorakulmaisissa koordinaateissa

Aaltoyhtälöille voidaan tarjota ratkaisut sekä aika- että taajuusdomaineissa. Yksinkertaisuuden vuoksi käsittelemme nyt kuitenkin vain siniaallon vakaan tilan (steady state, tai taajuusdomain!) ratkaisuja oikeakätisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.

Sähköiset ja magneettiset aaltoyhtälöt voidaan esittää taajuusdomainissa seuraavin vektoriyhtälöin:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\,$	$\gamma ^{2}\mathbf {E}$	(eq.2-E)
$\nabla ^{2}\mathbf {H} =$	$\gamma ^{2}\mathbf {H}$	(eq.2-H)

jossa:

$\gamma ={\sqrt {j\omega \mu \left(\sigma +j\omega \epsilon \right)}}=\alpha +j\beta$. (eq.3)

Suorakulmaisissa (ja yleensä oikeakätisissä) koordinaateissa lausuttavat E tai H noudattavat kompleksista skalaariaaltoyhtälöä, alias Helmholtzin yhtälöä.

$\nabla ^{2}\psi =\gamma ^{2}\psi$ (eq.4)

Helmholtzin yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa on:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=\gamma ^{2}\psi$ (eq.5)

Tämä on lineaarinen ja homogeeninen osittaisdifferentiaaliyhtälö kolmessa ulottuvuudessa. Käyttämällä muuttujien erottelua, ratkaisuksi saadaan:

$\psi =X\left(x\right)Y\left(y\right)Z\left(z\right)$ (eq.6)

missä esim. $X\left(x\right)$ on funktio pelkän x-koordinaatin suhteen.

Sijoittamalla yhtälö (eq.6) yhtälöön (eq.5) ja jakamalla tulos yhtälöllä (eq.6), saadaan:

${\frac {1}{X}}{\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {1}{Y}}{\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+{\frac {1}{Z}}{\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=\gamma ^{2}$ (eq.7)

Koskapa edellisten kolmen termin summa on vakio ja jokainen niistä termeistä on oma itsenäinen riippumaton muuttuja, jokaisen osatermin pitää olla vakion kokoinen.

Olkoot yllä olevat kolme termiä: $k_{x}^{2},k_{y}^{2},k_{z}^{2}\,$, osittaisdifferentiaalin erottelu voidaan esittää muodossa:

$-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\gamma ^{2}\,$ (eq.8)

Yleinen ratkaisu kullekin (eq.7) differentiaaliyhtälölle on:

${\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}=\,$	$-k_{x}^{2}X\,$	(eq.9-x)
${\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}=\,$	$-k_{y}^{2}Y\,$	(eq.9-y)
${\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=\,$	$-k_{z}^{2}Z\,$	(eq.9-z)

ja ne ovat käännettävissä muotoon:

$X=\,$	$A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x\,$	(eq.10-x)
$Y=\,$	$C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y\,$	(eq.10-y)
$Z=\,$	$E\sin k_{z}z+F\cos k_{z}z\,$	(eq.10-z)

Suorakulmaisissa koordinaateissa Helmholtz yhtälöjen täydet ratkaisut ovat näin ollen:

$\psi =\,$	$\left(A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x\right)\left(C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y\right)\,$
	$\times \left(E\sin k_{z}z+F\cos k_{z}z\right)\,$	(eq.11)

Aaltojen eteneminen aaltoputkessa ajatellaan konvention mukaan olevan positiiviseen z-koordinaatin suuntaan. On myöskin huomiolle pantavaa, että aaltoputken etenemisvakio $\gamma _{g}\,$ putkessa poikkeaa putkea täyttävän väliaineen etenemisvakiosta ($\gamma \,$). Olkoot:

$\gamma _{g}^{2}=\gamma ^{2}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=\gamma ^{2}+k_{c}^{2}$ (eq.12)

missä

$k_{c}={\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}$ (eq.13)

yleensä tämä tunnetaan termillä cutoff wave number.

Häviöttömälle eristeelle/täyteaineelle käytämme sijoitusta $\gamma ^{2}=-\omega ^{2}\mu \epsilon \,$ ja saamme:

$\gamma _{g}=\pm j{\sqrt {\omega ^{2}\mu \epsilon -k_{c}^{2}}}$ (eq.14)

Etenemävakiolle $\gamma _{g}\,$ aaltoputkissa saamme kolme eri tapausta:

Tapaus 1: Aallon etenemistä ei tapahdu (vaan voimakasta häipymistä) jos $\omega _{c}^{2}\mu \epsilon =k_{c}^{2}\,$ ja $\gamma _{g}=0\,$. Edellä oleva on ns. kriittinen raja alarajataajuudelle ja se voidaan muotoilla:

$f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\mu \epsilon }}}}{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}$ (eq.15)

Tapaus 2: Aaltomuoto etenee putkessa, jos $\omega ^{2}\mu \epsilon >k_{c}^{2}\,$ ja:

$\gamma _{g}=\pm j\beta _{g}=\pm j\omega {\sqrt {\mu \epsilon }}{\sqrt {1-\left({\frac {f_{c}}{f}}\right)^{2}}}$ (eq.16)

Tämä merkitsee, että taajuuden pitää olla alarajan yläpuolella, jotta aaltomuoto etenisi putkessa.

Tapaus 3: Aaltomuoto vaimenee, jos $\omega ^{2}\mu \epsilon <k_{c}^{2}\,$ ja:

$\gamma _{g}=\pm \alpha _{g}=\pm \omega {\sqrt {\mu \epsilon }}{\sqrt {\left({\frac {f_{c}}{f}}\right)^{2}-1}}$ (eq.17)

joka kertoo, että operoitaessa taajuudella joka on alarajan alapuolella, aaltomuoto vaimenee eksponentiaalisesti suhteessa tekijään $-\alpha _{g}z\,$, eikä aaltomuoto etene, koska etenemisvakio on reaaliluku.

Siksi ratkaisuksi Helmholtzin yhtälölle suorakulmaisissa koordinaateissa voidaan muotoilla:

$\psi =\left(A\sin k_{x}x+B\cos k_{x}x\right)\left(C\sin k_{y}y+D\cos k_{y}y\right)e^{-j\beta _{g}z}\,$ (eq.18)

TE-muodot suorakulmaisessa aaltoputkessa

Käytämme edelleen oletusta, että aaltomuodot etenevät positiiviseen z-akselin suuntaan oikeakätisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.

TE_mn-etenemismuotojen ominaispiirre aaltoputkessa on, että $E_{z}=0\,$. Toisin sanoen, magneettikentän z-komponentin, $H_{z}\,$, pitää olla olemassa, että energiaa siirtyisi putkessa. Seuraten edellä mainitusta Helmholtzin yhtälöstä:

$\nabla ^{2}H_{z}=\gamma ^{2}H_{z}\,$ (eq.19)

jolle saadaan ratkaisu joka on muotoa:

$H_{z}=\,$	$\left(A_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+B_{m}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\right)$
	$\times \left(C_{n}\sin {\frac {n\pi y}{b}}+D_{n}\cos {\frac {n\pi y}{b}}\right)e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.20)

jota rajoittavat annetut rajaehdot, missä: $k_{x}=m\pi /a\,$ ja $k_{y}=n\pi /b\,$ sijoitettiin yhtälöön. Häivöttömälle eristeelle Maxwellin curl-yhtälöt taajuusdomainissa ovat:

$\nabla \times \mathbf {E} =\,$	$-j\omega \mu \mathbf {H} \,$	(eq.21-E)
$\nabla \times \mathbf {H} =\,$	$j\omega \epsilon \mathbf {E} \,$	(eq.21-H)

suorakulmaisissa koordinaateissa niiden komponentit ovat:

${\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}=$	$-j\omega \mu H_{x}\,$	(eq.22-Hx)
${\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=$	$-j\omega \mu H_{y}\,$	(eq.22-Hy)
${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}=$	$-j\omega \mu H_{z}\,$	(eq.22-Hz)
${\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}=$	$j\omega \epsilon E_{x}\,$	(eq.22-Ex)
${\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=$	$j\omega \epsilon E_{y}\,$	(eq.22-Ey)
${\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}=$	$j\omega \epsilon E_{z}\,$	(eq.22-Ez)

Sijoittamalla edellisiin yhtälöihin $\partial /\partial z=-j\beta _{g}\,$ ja $E_{z}=0\,$, saadaan yksinkertaisemmat yhtälöt:

$\beta _{g}E_{y}=\,$	$-\omega \mu H_{x}\,$	(eq.23-Hx)
$\beta _{g}E_{x}=\,$	$\omega \mu H_{y}\,$	(eq.23-Hy)
${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}=$	$-j\omega \mu H_{z}\,$	(eq.23-Hz)
${\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}+j\beta _{g}H_{y}=\,$	$j\omega \epsilon E_{x}\,$	(eq.23-Ex)
$-j\beta _{g}H_{x}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=$	$j\omega \epsilon E_{y}\,$	(eq.23-Ey)
${\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}=$	$0\,$	(eq.23-Ez)

Ratkaisemalla näistä kuudesta yhtälöstä $E_{x},E_{y},H_{x},H_{y}\,$ muuttujan $H_{z}\,$ suhteen ja tekemällä sijoitus $k_{c}^{2}=\omega ^{2}\mu \epsilon -\beta _{g}^{2}\,$, saadaan TE-moodin kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa:

$E_{x}=\,$	${\frac {-j\omega \mu }{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}$	(eq.24-Ex)
$E_{y}=\,$	${\frac {j\omega \mu }{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}$	(eq.24-Ey)
$E_{z}=\,$	$0\,$	(eq.24-Ez)
$H_{x}=\,$	${\frac {-j\beta _{g}}{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}$	(eq.24-Hx)
$H_{y}=\,$	${\frac {-j\beta _{g}}{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}$	(eq.24-Hy)
$H_{z}=\,$	$\left(A_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+B_{m}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\right)$	(eq.20)(eq.24-Hz)
	$\times \left(C_{n}\sin {\frac {n\pi y}{b}}+D_{n}\cos {\frac {n\pi y}{b}}\right)e^{-j\beta _{g}z}$

Differentioimalla yhtälö (eq.24-Hz) x:n ja y:n suhteen ja sitten sijoittamalla tulokset muista (eq.24) ryhmän yhtälöistä siihen, saadaan varsinaiset kenttäyhtälöt.

Rajatilojen määritykset sovitetaan saatuihin uusiin yhtälöihin siten, että joko E-kentän tangentti, tai H-kentän normaali katoaa johteiden pinnoilla. Koska silloin $E_{x}=0\,$, on $\partial H_{z}/\partial y=0$ kun y = 0 tai b. Siten $C_{n}=0\,$. Koskapa $E_{y}=0\,$ silloin $\partial H_{z}/\partial x=0$ kun x = 0 tai a. Siten myös $A_{m}=0\,$.

Noin ylipäätään voidaan vetää johtopäätös, että $H_{z}\,$:n normaalin derivaatan pitää kadota johtavalla pinnalla, eli johteen seinillä:

${\frac {\partial H_{z}}{\partial n}}=0$ (eq.25)

Tästä seuraa, että magneettikenttä positiiviseen z-akselin suuntaan voidaan kirjoittaa muotoon:

$H_{z}=H_{0z}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\cos {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$ (eq.26)

missä $H_{0z}\,$ on amplitudivakio.

Sijoittamalla yhtälö (eq.26) ryhmän (eq.24) yhtälöihin, saadaan TE_mn kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa:

$E_{x}=\,$	$E_{0x}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.27-Ex)
$E_{y}=\,$	$E_{0y}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\cos {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.27-Ey)
$E_{z}=\,$	$0\,$	(eq.27-Ez)
$H_{x}=\,$	$H_{0x}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\cos {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.27-Hx)
$H_{y}=\,$	$H_{0x}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.27-Hy)
$H_{z}=\,$	$H_{0z}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\cos {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.26)(eq.27-Hz)

edellä m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, mutta arvo m = n = 0 ei ole sallittu.

---

Aloitetaan koostamaan muutamia strategisia yhtälöitä:

Apumuuttuja:

$v_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}={\frac {c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}$ (eq.28)

on signaalin vaihenopeus putken sisäisessä eristemateriaalissa, ilmalle/tyhjölle se on valonnopeus.

Yhtälön (eq.12) mukaan ns. Cutoff wave number on:

$k_{c}={\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}}$	$=\omega _{c}{\sqrt {\mu \epsilon }}$	(eq.29)
	$\,\,={\frac {2\pi f_{c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}{c}}$	(eq.30)

jossa a ja b on metreinä.

Yhtälön (eq.15) mukaan aaltoputken alarajataajuus on:

$f_{c}={\frac {1}{2{\sqrt {\mu \epsilon }}}}{\sqrt {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}}}={\frac {1}{2}}v_{p}{\sqrt {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}}}$ (eq.31)

jota vastaava aallonpituus:

$\lambda _{c}={\frac {2}{\sqrt {\left({\frac {m}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{b}}\right)^{2}}}}$ (eq.32)

Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!

Etenemisvakio (tai tässä vaihevakio) kuten yhtälö (eq.14) sen ilmaisee on lausuttavissa muodossa:

$\beta _{g}=\omega {\sqrt {\mu \epsilon }}{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}$ (eq.33)

Vaihenopeus positiivizeen z-akselin suuntaan:

$v_{g}={\frac {\omega }{\beta _{g}}}={\frac {v_{p}}{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$ (eq.34)

Ominaisaaltoimpedanssi TE-moodeille voidaan lausua yhtälöistä (eq.23-Hx ja eq.23-Hy) johtamalla muotoon:

$Z_{g}={\frac {E_{x}}{H_{y}}}=-{\frac {E_{y}}{H_{x}}}={\frac {\omega \mu }{\beta _{g}}}={\frac {\eta }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$ (eq.35)

missä: $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeen ominaisimpedanssi.

Aaltoputken aallonpituus on:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$ (eq.36)

missä: $\lambda =v_{p}/f\,$ on aallonpituus putken sisäeristeessä.

TM-aaltoputkimoodit suorakaideputkelle

TM_mn-etenemismuotojen ominaispiirre aaltoputkessa on, että $H_{z}=0\,$. Toisin sanoen, sähkökentänkentän z-komponentin, $E_{z}\,$, pitää olla olemassa, että energiaa siirtyisi putkessa. Seuraten edellä mainitusta, Helmholtzin yhtälöstä tulee:

$\nabla ^{2}E_{z}=\gamma ^{2}E_{z}\,$ (eq.37)

jolle saadaan ratkaisu joka on muotoa:

$E_{z}=\,$	$\left(A_{m}\sin {\frac {m\pi x}{a}}+B_{m}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\right)\,$
	$\left(C_{n}\sin {\frac {n\pi y}{b}}+D_{n}\cos {\frac {n\pi y}{b}}\right)e^{-j\beta _{g}z}\,$	(eq.38)

jonka varsinaista ratkaisua varten sitä täytyy rajoittaa rajapintaehdoilla. Tämä on samanlaista, kuin TE-moodien haku.

Rajapintaehto $E_{z}\,$ vaatii, että kenttä häviää (nollaan) aaltoputken seinillä, koska sähkökentän tangenttikomponentin ($E_{z}\,$) tulee olla nolla johtavalla pinnalla. Näin ollen koska $E_{z}=0\,$ kun $x=0,a\,$, silloin $B_{m}=0\,$. Samoin $E_{z}=0\,$-ehto reunoilla 0, b pakottaa: $D_{n}=0\,$. Näin yhtälö (eq.38) pelkistyy muotoon:

$E_{z}=E_{0z}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$ (eq.39)

missä $m=1,2,3,\dots \quad n=1,2,3,\dots$.

Jos m tai n ovat nollia, kentät vaimenevat nollaan. Siksi suorakulmaisessa putkessa ei ole TM₀₁ tai TM₁₀ -moodeja, jonka vuoksi TE₁₀-moodi on dominoiva suorakulmaisessa putkessa, jonka a > b.

Tapaukselle $H_{z}=0\,$ saadaan kenttäyhtälöt laventamalla $\nabla \times \mathbf {H} =j\omega \epsilon \mathbf {E}$:

${\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}+j\beta _{g}E_{y}=\,$	$-j\omega \mu H_{x}\,$	(eq.40-Hz)
$j\beta _{g}E_{x}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=\,$	$j\omega \mu H_{y}\,$	(eq.40-Hy)
${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}=\,$	$0\,$	(eq.40-Hx)
$\beta _{g}H_{y}=\,$	$\omega \epsilon E_{x}\,$	(eq.40-Ex)
$-\beta _{g}H_{x}=\,$	$\omega \epsilon E_{y}\,$	(eq.40-Ey)
${\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}=\,$	$j\omega \epsilon E_{z}\,$	(eq.40-Ez)

Näiden yhtälöiden samanaikainen ratkaisu $E_{z}\,$:n suhteessa muuttujille $E_{x},E_{y},H_{x},H_{y}\,$ ja tekemällä sijoitus $\beta _{g}^{2}-\omega ^{2}\mu \epsilon =-k_{c}^{2}\,$, saadaan kenttäyhtälöt TM-moodeille:

$E_{x}=\,$	${\frac {-j\beta _{g}}{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}$	(eq.41-Ex)
$E_{y}=\,$	${\frac {-j\beta _{g}}{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}$	(eq.41-Ey)
$E_{z}=\,$	$E_{0z}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.41-Ez)(eq.39)
$H_{x}=\,$	${\frac {j\omega \epsilon }{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}$	(eq.41-Hx)
$H_{y}=\,$	${\frac {-j\omega \epsilon }{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}$	(eq.41-Hy)
$H_{z}=\,$	$0\,$	(eq.41-Hz)

Differentoimalla edellä olevat yhtälöt x:n ja y:n suhteen sekä sijoittamalla tulokseen yhtälöiden (eq.41) tulokset saadaan varsinaiset TM_mn-moodin kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa muotoon:

$E_{x}=\,$	$E_{0x}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.42-Ex)
$E_{y}=\,$	$E_{0y}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\cos {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.42-Ey)
$E_{z}=\,$	$E_{0z}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.42-Ez)(eq.39)
$H_{x}=\,$	$H_{0x}\sin {\frac {m\pi x}{a}}\cos {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.42-Hx)
$H_{y}=\,$	$H_{0y}\cos {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.42-Hy)
$H_{z}=\,$	$0\,$	(eq.42-Hz)

Useimmat TM-moodin ominaisyhtälöistä ovat identtisiä TM-moodin kanssa, mutta pari poikkeustakin on:

Alarajataajuus $f_{c}$ on kuten TE-moodilla yllä.

Etenemisvakio $\beta _{g}\,$ on kuten TE-moodilla yllä.

Vaihenopeus $v_{g}\,$ on kuten TE-moodilla yllä.

Ominaisaaltoimpedanssi TM-moodeille voidaan lausua:

$Z_{g}={\frac {\beta _{g}}{\omega \epsilon }}=\eta {\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}$ (eq.43-Zg)

missä: $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeen ominaisimpedanssi kuten TE-moodilla.

Aaltoputken aallonpituus $\lambda _{g}\,$ on kuten TE-moodilla.

Tehon siirto suorakulmaisessa aaltoputkessa

Aaltoputkessa siirrettävä teho ja putken seinämähäviöt voidaan laskea kompleksisessa Poynting teoreemalla. Lähtökohtana pidetään tilannetta, jossa aaltoputki on äärettömän pitkä suhteessa aallonpituuteen ja että se on päätetty ideaaliseen kuormaan siten, ettei päistä tule heijastuksia. Aaltoputkessa siirrettävä teho on lausuttavissa:

$P_{tr}=\oint \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\oint {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {H*} \right)\cdot d\mathbf {s}$ (eq.44)

Häviöttömälle eristeelle saadaan aaltoputken läpi kulkevan tehon aika-keskiarvo lausuttua:

$P_{tr}={\frac {1}{2Z_{g}}}\int _{a}\left|E\right|^{2}\,da={\frac {Z_{g}}{2}}\int _{a}\left|H\right|^{2}\,da$ (eq.45)

missä:

$Z_{g}={\frac {E_{x}}{H_{y}}}=-{\frac {E_{y}}{H_{x}}}$

$\left|E\right|^{2}=\left|E_{x}\right|^{2}+\left|E_{y}\right|^{2}$

$\left|H\right|^{2}=\left|H_{x}\right|^{2}+\left|H_{y}\right|^{2}$

Näin TE_mn-moodeille on keskimääräinen suorakaideaaltoputken läpi kulkeva teho:

$P_{tr}={\frac {\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}{2\eta }}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}\left(\left|E_{x}\right|^{2}+\left|E_{y}\right|^{2}\right)\,dx\,dy$ (eq.46-TE)

Vastaavasti TM_mn-moodeille se on:

$P_{tr}={\frac {1}{2\eta {\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}\left(\left|E_{x}\right|^{2}+\left|E_{y}\right|^{2}\right)\,dx\,dy$ (eq.46-TM)

edellä $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeaineen ominaisimpedanssi.

Tehohäviö suorakulmaisessa aaltoputkessa

Suorakulmaisessa aaltoputkessa on kahdenlaisia häviöitä:

1. eristeaineen häviöt
2. putken seinien ohmiset häviöt

Eristeaineen häviöt

Aloitetaan asian tarkastelu putkea täyttävän eristeaineen (tyhjön/ilman) häivöistä. Pienihäviöisen rajattoman eristeaineen (missä $\sigma <\!\!<\mu \epsilon \,$) tasoaallon etenemisvakio voidaan esittää:

$\alpha ={\frac {\sigma }{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon }}}={\frac {\eta \sigma }{2}}$ (eq.47)

Näin suorakulmaisen aaltoputken eristeaineen häviöt TE_mn ja TM_mn-moodeissa ovat:

TE-mode:	$\alpha _{g}={\frac {\sigma \eta }{2{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}}$	(eq.48-TE)
TM-mode:	$\alpha _{g}={\frac {\sigma \eta {\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}{2}}$	(eq.48-TM)

Taajuuden f ollessa paljon yli rajataajuuden ($f>\!\!>f_{c}\,$), vaimennusvakio $\alpha _{g}\,$ lähestyy rajattoman eristeaineen ominaisuuksia (eq.47). Mutta kun taajuus on paljon alle rajataajuuden, vaimennusvakio kasvaa erittäin suureksi ja aaltomuoto ei käytännössä etene.

Aaltoputken seinien tehohäviöt

Seuraavaksi tutkitaan aaltoputken seinissä tapahtuvia tehohäviöitä. Aaltoputkessa etenevien sähkö- ja magneettikenttien intensiteetit voidaan lausua muodossa:

$\left|E\right|=\left|E_{0z}\right|e^{-a_{g}z}$	(eq.49-E)
$\left|H\right|=\left|H_{0z}\right|e^{-a_{g}z}$	(eq.49-H)

missä $E_{0z}\,$ ja $H_{0z}\,$ ovat kenttäintensiteetit z-akselilla kohdassa $z=0\,$.

On huomionarvoisaa todeta, että pienihäviöisessä putkessa tehovirran aikakeskiarvo pienenee suhteessa tekijään $e^{-2\alpha _{g}z}\,$. Näin ollen:

$P_{tr}=\left(P_{tr}+P_{loss}\right)e^{-2\alpha _{g}z}\,$ (eq.50)

Erityisesti kun $P_{loss}<\!\!<P_{tr}\,$ ja $2\alpha _{g}z<\!\!<1\,$:

${\frac {P_{loss}}{P_{tr}}}+1=1+2\alpha _{g}z$ (eq.51)

Lopulta:

$\alpha _{g}={\frac {P_{L}}{2P_{tr}}}$ (eq.52)

missä $P_{L}\,$ on tehohäviö yksikköpituutta kohti.

koskapa sähkö- ja magneettikentät aaltoputken johdepinnalla vaimenevat eksponentiaalisesti mentäessä syvemmälle seinämän aineeseen, on helpompi määritellä aaltoputken pinnan ominaisvastus:

$R_{s}\equiv {\frac {\rho }{\delta }}={\frac {1}{\sigma \delta }}={\frac {\alpha _{g}}{\rho }}={\sqrt {\frac {\pi f\mu }{\sigma }}}\quad \Omega$ (eq.53)

missä $\rho \,$ (rho) seinämän materiaalin ominaisvastus ohmi-metriä, $\sigma \,$ (sigma) johtavuus siemensseinä, $\delta \,$ (delta) tunkeumasyvyys metreinä.

Tehohäviö per pituusmittayksikkö saadaan integroimalla pituusmittayksikön matkalla johteen pinnan tehotiheys:

$P_{L}={\frac {R_{s}}{2}}\int _{s}\left|H_{t}\right|^{2}\,ds\,$ W/yksikköpituus (eq.54)

missä $H_{t}\,$ on johteen seinällä olevan magneettikentän intensiteetin tangenttikomponentti. Sijoittamalla yhtälöt (eq.45) ja (eq.54) yhtälöön (eq.52) saadaan:

$\alpha _{g}={\frac {R_{s}\int _{s}\left|H_{t}\right|^{2}ds}{2Z_{g}\int _{a}\left|H\right|^{2}da}}$ (eq.55)

missä:

$\left|H\right|^{2}=\left|H_{x}\right|^{2}+\left|H_{y}\right|^{2}$ (eq.56)

$\left|H_{t}\right|^{2}=\left|H_{tz}\right|^{2}+\left|H_{ty}\right|^{2}$ (eq.57)

Pyöreä aaltoputki

Pyöreä aaltoputki on poikkileikkauksen muotoaan lukuunottamatta kuten suorakaideputki ja se kykenee kuljettamaan sisällään sähkömagneettista tasoaaltoa.

Muunkinlaiset poikkileikkauksen geometriat kykenevät kuljettamaan sähkömagneettista energiaa, esim. elliptiset putket.

Aaltoyhtälöt sylinterikoordinaateissa

Aivan kuten edellä suorakaideputkille, tässäkin pitäydytään vain siniaaltojen pysyvän olotilan ( = taajuusdomainin ) ratkaisujen etsintään.

Käytettävä koordinaattijärjestelmä:

• $\phi \,$ (fii): x-y -tason origon ympäri x-akselista laskettava kulma
• r: Etäisyys z-akselista
• a: aaltoputken sisäpinnan säde
• z: z-koordinaatti, l. etäisyys x-y-tasosta.

Skalaarimuotoinen Helmholtz-yhtälö sylinterikoordinaateissa saa muodon:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=\gamma ^{2}\psi$ (eq.58)

Käyttäen muuttujien erottelua tämä saadaan muotoon:

$\Psi =R\left(r\right)\Phi \left(\phi \right)Z\left(z\right)\,$ (eq.59)

missä:

• $R\left(r\right)\,$ = r-koordinaatin funktio
• $\Phi \left(\phi \right)\,$ = $\phi \,$-koordinaatin funktio
• $Z\left(z\right)\,$ = z-koordinaatin funktio

Sijoittamalla yhtälö (eq.59) yhtälöön (eq.58) ja jakamalla tulos yhtälöllä (eq.59), saadaan:

${\frac {1}{rR}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}+{\frac {1}{Z}}{\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=\gamma ^{2}$ (eq.60)

Koskapa kolmen riippumattoman termin summa on vakio, jokaisen kolmesta termistä pitää olla vakio. Asetetaan nyt kolmas termi vakioksi $\gamma _{g}^{2}\,$:

${\frac {d^{2}Z}{dz^{2}}}=\gamma _{g}^{2}Z$ (eq.61)

Yhtälön ratkaisu on muotoa:

$Z=Ae^{-\gamma _{g}z}+Be^{\gamma _{g}z}$ (eq.62)

missä $\gamma _{g}\,$ on aallon etenemisvakio aaltoputkessa.

Sijoittamalla $\gamma _{g}^{2}\,$ kolmanneksi termiksi yhtälön (eq.60) vasemmalle puolelle ja kertomalla saatu yhtälö $r^{2}\,$:lla, saadaan:

${\frac {r}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR}{dR}}\right)+{\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}-\left(\gamma ^{2}-\gamma _{g}^{2}\right)r^{2}=0$ (eq.63)

Tuon toinen termi on pelkästään $\phi \,$:n suhteen oleva funktio, joten sijoittamalla sen paikalle vakio: $\left(-n^{2}\right)\,$, saadaan:

${\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-n^{2}\Phi$ (eq.64)

Tälle yhtälölle löytyy ratkaisuksi myös harmoninen funktio:

$\Phi =A_{n}\sin n\phi +B_{n}\cos n\phi \,$ (eq.65)

Korvaamalla yhtälön (eq.63) termi $\Phi \,$ termillä $\left(-n^{2}\right)\,$ ja kertomalla tulos $R\,$:llä, saadaan:

$r{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {dR}{dr}}\right)+\left(\left(k_{c}r\right)^{2}-n^{2}\right)R=0$ (eq.66)

tämä on n-kertaluvun Besselin-funktio, missä:

$k_{c}^{2}+\gamma ^{2}=\gamma _{g}^{2}\,$ (eq.67)

joka tunnetaan Besselin funktion ominaisyhtälönä. Häviöttömälle aaltoputkelle tämä ominaisyhtälö sieventyy muotoon:

$\beta _{g}=\pm {\sqrt {\omega ^{2}\mu \epsilon -k_{c}^{2}}}$ (eq.68)

Tämän Besselin yhtälön ratkaisut ovat:

$R=C_{n}J_{n}\left(k_{c}r\right)+D_{n}N_{n}\left(k_{c}r\right)\,$ (eq.69)

missä $J_{n}\left(k_{c}r\right)\,$ on n:nnen kertaluokan ensimmäisen tyypin Besselin funktio joka kuvaa putken sisällä seisovaa aaltoa $\cos \left(k_{c}r\right)$ r:n arvoilla nollasta a:han. Samaan tapaan $N_{n}\left(k_{c}r\right)\,$ on n:nen kertaluvin toisen tyypin Besselin funktio joka kuvaa seisovaa aaltoa: $\sin \left(k_{c}r\right)\,$ r:n ollessa a:ta suurempi.

Näin saamme Helmholtzin yhtälön ratkaisuksi sylinterikoordinaateissa:

$\Psi =\left(C_{n}J_{n}\left(k_{c}r\right)+D_{n}N_{n}\left(k_{c}r\right)\right)\left(A_{n}\sin n\phi +B_{n}\cos n\phi \right)e^{\pm \beta _{g}z}$ (eq.70)

Kuitenkin kun $r=0\,$, on $k_{c}r=0\,$ ja funktio $N_{n}\,$ lähestyy ääretöntä ja siksi $D_{n}=0$. Tästä kaikesta seuraa, että z-akselilla kentän täytyy olla äärellinen.

Tekemällä lisää trigonometrista jumppaa, saamme (eq.70):n sin/cos termeistä:

$\left(A_{n}\sin n\phi +B_{n}\cos n\phi \right)\,$	$={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\cos \left(n\phi +\arctan {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\right)$
	$=F_{n}\cos n\phi \,$	(eq.71)

josta edelleen Helmholtzin yhtälö pelkistyy:

$\Psi =\Psi _{0}\,J_{n}\left(k_{c}r\right)\cos \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}\,$ (eq.72)

TE-aaltoputkimoodit pyöreälle putkelle

Katsotaan tilannetta, jossa aalto etenee putkessa positiiviseen z-akselin suuntaan edellä esitellyin koordinaatein.

Pyöreän aaltoputken TE_np-moodeille tunnusomaista on, että $E_{z}=0.\,$ Tämä tarkoittaa, että magneettikentän $H_{z}\,$ z-komponentin pitää olla olemassa jotta putkessa esiintyy energian siirtoa. Helmholtzin yhtälö $H_{z}\,$:lle sylinterimäisessä putkessa on lausuttavissa:

$\nabla ^{2}H_{z}=\gamma ^{2}H_{z}$ (eq.73)

sen ratkaisu on yhtälön (eq.72) mukaan:

$H_{z}=H_{0z}J_{n}\left(k_{c}r\right)\cos \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}\,$ (eq.74)

joihin vaikuttavat vielä reunaehdot..

Häviöttömälle eristeaineelle (tyhjölle), Maxwellin curl-yhtälöt taajuus-domainissa ovat:

$\nabla \times \mathbf {E} =\,$	$-j\omega \mu \mathbf {H} \,$	(eq.75-H)
$\nabla \times \mathbf {H} =\,$	$j\omega \epsilon \mathbf {E} \,$	(eq.75-E)

Sylinterikoordinaateissa näiden komponenttiesitys on:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial E_{\phi }}{\partial z}}=$	$-j\omega \mu H_{r}\,$	(eq.76-Hr)
${\frac {\partial E_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}=$	$-j\omega \mu H_{\phi }\,$	(eq.76-Hp)
${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rE_{\phi }\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{r}}{\partial \phi }}=$	$-j\omega \mu H_{z}\,$	(eq.76-Hz)
${\frac {1}{r}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial H_{\phi }}{\partial z}}=$	$j\omega \epsilon E_{r}\,$	(eq.76-Er)
$-j\beta _{g}H_{r}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial r}}=$	$j\omega \epsilon E_{\phi }\,$	(eq.76-Ep)
${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rH_{\phi }\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial H_{r}}{\partial \phi }}=$	$j\omega \epsilon E_{z}\,$	(eq.76-Ez)

Kun differentiaatio $\partial /\partial z\,$ korvataan $\left(-j\beta _{g}\right)\,$ ja sähkökentän z-komponentti $E_{z}\,$ nollalla, sekä tehdään sijoitus $k_{c}^{2}=\omega ^{2}\mu \epsilon -\beta _{g}^{2}\,$, saadaan TE-moodin yhtälöt pyöreässä aaltoputkessa $H_{z}\,$:n suhteen lausuttuna:

$E_{r}=\,$	$-\,$	${\frac {j\omega \mu }{k_{c}^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial \phi }}$	(eq.77-Er)
$E_{\phi }=\,$		${\frac {j\omega \mu }{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial r}}$	(eq.77-Ep)
$E_{z}=\,$		$0\,$	(eq.77-Ez)
$H_{r}=\,$		${\frac {-j\beta _{g}}{k_{c}^{2}}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial r}}$	(eq.77-Hr)
$H_{\phi }=\,$		${\frac {-j\beta _{g}}{k_{c}^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial H_{z}}{\partial \phi }}$	(eq.77-Hp)
$H_{z}=\,$		$H_{0z}J_{n}\left(k_{c}r\right)\cos \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.77-Hz)

Aaltoputkessa yhtälöiden ratkaisuissa putken sisäpinnalla pitää sähkökentän $\phi \,$ komponentin $E_{\phi }\,$ kadota, tai että magneettikentän r-komponentin $H_{r}\,$ pitää kadota. Näinollen:

$E_{\phi }=0,\,$	kun	$r=a\,$		$\Rightarrow \left.{\frac {\partial H_{z}}{\partial r}}\right|_{r=a}=0$
$H_{r}=0,\,$	kun	$r=a\,$		$\Rightarrow \left.{\frac {\partial H_{z}}{\partial r}}\right|_{r=a}=0$

Tämä ehto voidaan lausua myös yhtälön (eq.74) tapaan muodossa:

$\left.{\frac {\partial H_{z}}{\partial r}}\right|_{r=a}=H_{0z}J_{n}^{\prime }\left(k_{c}a\right)\cos \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}=0$ (eq.78)

ja siinä nimenomaan:

$J_{n}^{\prime }\left(k_{c}a\right)=0\,$ (eq.79)

missä $J_{n}^{\prime }\,$ on $J_{n}\,$:n derivaatta.

Koskapa $J_{n}\,$ on oskilloiva funktio, myös $J_{n}^{\prime }\left(k_{c}a\right)\,$ on oskilloiva. Tästä seuraa, että on olemassa ääretön määrä $\left(k_{c}a\right)\,$ arvoja, jotka toteuttavat yhtälön (eq.78) ehdon. Nämä pisteet ovat paikallisia maksimeja ja minimejä Besselin funktiolla.

 p:nnes nolla $J_{n}^{\prime }\left(k_{c}a\right)\,$ TEnp moodeille:
-------------------------------------------------------
 p     n=  0       1       2       3       4       5
-------------------------------------------------------
 1        3.832   1.841   3.054   4.201   5.317   6.416
 2        7.016   5.331   6.706   8.015   9.282  10.520
 3       10.173   8.536   9.969  11.346  12.682  13.987
 4       13.324  11.706  13.190
-------------------------------------------------------

Kirjoittamalla $k_{c}\,$:n arvot muotoon:

$k_{c}={\frac {X_{np}^{\prime }}{a}}$ (eq.80)

Sijoittamalla yhtälö (eq.74) yhtälöihin (eq.77), sekä käyttämällä ekvivalenttiutta: $Z_{g}=E_{r}/H_{\phi }=-E_{\phi }/H_{r},\,$ saamme:

$E_{r}=\,$		$E_{0r}J_{n}\left({\frac {X_{np}^{\prime }r}{a}}\right)\sin \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.81-Er)
$E_{\phi }=\,$		$E_{0r}J_{n}^{\prime }\left({\frac {X_{np}^{\prime }r}{a}}\right)\cos \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.81-Ep)
$E_{z}=\,$		$0\,$	(eq.81-Ez)
$H_{r}=\,$	$-\,$	${\frac {E_{0\phi }}{Z_{g}}}J_{n}^{\prime }\left({\frac {X_{np}^{\prime }r}{a}}\right)\cos \left(n\phi \right)e^{j\beta _{g}z}$	(eq.81-Hr)
$H_{\phi }=\,$		${\frac {E_{0r}}{Z_{g}}}J_{n}\left({\frac {X_{np}^{\prime }r}{a}}\right)\sin \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.81-Hp)
$H_{z}=\,$		$H_{0z}J_{n}\left({\frac {X_{np}^{\prime }r}{a}}\right)\cos \left(n\phi \right)e^{-j\beta _{g}z}$	(eq.81-Hz)

edellä n = 0, 1, 2, 3, ... ja p = 1, 2, 3, 4, ...

Moodin ensimmäinen indeksi n esittää täysiä kenttävoimakkuuden muutosjaksoja täyden poikittaisen kierroksen matkalla. Toinen indeksi p kertoo säteittäisen sähkökentän nollien määrän ja jos z-akselille tarjotaan nollaa, sitä ei hyväksytä.

---------------- TODO ---------------------

Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:

$v_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}={\frac {c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}$

joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.

Etenemismoodit ovat besselin funktion $J_{n}^{\prime }(k_{c}r)=0\,$ juuria (joka on siis besselin funktion derivaatta ja edustaa perättäisiä maksimeja ja minimejä). Merkintä $X_{np}^{\prime }\,$ tarkoittaa $J_{n}$ funktion derivaatan p:nnettä nollakohtaa ja ollaan kiinnostuneet parametrin $k_{c}r$ numeerisesta arvosta siinä nollakohdassa.

Cutoff wave number:

$k_{c}={\frac {X_{np}^{\prime }}{r}}=\omega _{c}{\sqrt {\mu \epsilon }}={\frac {\omega _{c}}{v_{p}}}$

Etenemisvakio on muotoa:

$\beta _{g}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \epsilon -\left({\frac {X_{np}^{\prime }}{r}}\right)^{2}}}$

Alarajataajuus:

$f_{c}={\frac {X_{np}^{\prime }}{2\pi r{\sqrt {\mu \epsilon }}}}={\frac {X_{np}^{\prime }v_{p}}{2\pi r}}$

sitä vastaava aallonpituus:

$\lambda _{c}={\frac {2\pi r}{X_{np}^{\prime }}}$

Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!

TE-moodin vaihenopeus:

$v_{g}={\frac {\omega }{\beta _{g}}}={\frac {v_{p}}{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

Aallonpituus:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

jossa $\lambda ={\frac {v_{p}}{f}}$ on aallonpituus täytteenä olevassa eristeaineessa.

Aaltoimpedanssi:

$Z_{g}={\frac {\omega \mu }{\beta _{g}}}={\frac {\eta }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

missä $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeaineen ominaisimpedanssi.

TM-aaltoputkimoodi pyöreälle putkelle

Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:

$v_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}={\frac {c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}$

joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.

Etenemismoodit ovat besselin funktion $J_{n}(k_{c}r)=0\,$ juuria ja merkintä $X_{np}$ tarkoittaa $J_{n}$ funktio p:nnettä juurta ja nyt ollaan kiinnostuneita nimenomaan parameterin $k_{c}r$ (tulon) arvosta siinä kohdassa.

Cutoff wave number:

$k_{c}={\frac {X_{np}}{r}}=\omega _{c}{\sqrt {\mu \epsilon }}={\frac {\omega _{c}}{v_{p}}}$

Etenemisvakio on muotoa:

$\beta _{g}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \epsilon -\left({\frac {X_{np}}{r}}\right)^{2}}}$

Alarajataajuus:

$f_{c}={\frac {X_{np}}{2\pi r{\sqrt {\mu \epsilon }}}}={\frac {X_{np}v_{p}}{2\pi r}}$

sitä vastaava aallonpituus:

$\lambda _{c}={\frac {2\pi r}{X_{np}}}$

Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!

TM-moodin vaihenopeus $v_{g}\,$ on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.

Aallonpituus $\lambda _{g}\,$ on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.

Aaltoimpedanssi $Z_{g}$ on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.

Tyypit

Suorakaideputki (rectangular waveguide)

Suorakaideputkessa sähkökenttä on poikittain putkessa sen pidempien sivujen välillä. Sähkökentän voimakkuus putoaa reunoilla (lyhyet sivut) nollaan ja on keskellä maksimi. Jakaumakuvio on sinikäyrä. Magneettikenttä koostuu silmukoista jotka ovat samansuuntaisia pitkien sivujen kanssa.

Ilma-/tyhjötäytteiselle suorakaiteen muotoiselle aaltoputkelle tehollinen aallonpituus on:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(\lambda /2a\right)^{2}}}}\,$

missä:

• $\lambda \,$ on aallonpituus tyhjössä
• a on isompi sisämitoista ("pitkän sivun" mitta)

Suorakaideputkella signaalin polarisaatio on samansuuntainen sähkökentän kanssa, eli se on samansuuntainen lyhyiden sivujen kanssa.

Tällaisen putken käyttökelpoinen ylätaajuus on tyypillisesti (korkeampien etenemismoodien välttötarpeesta johtuen) noin 1.4 kertaa alarajataajuus.

Pyöreä putki (circular/round waveguide)

Pyöreässä aaltoputkessa voidaan kuljettaa energiaa, mutta se ei pakota signaalille mitään polarisaatiota. Tästä voi toisaalta olla etuakin, kun halutaan tuottaa/kuljettaa pyörivää polarisaatiota.

Pyöreän aaltoputken ensisijainen etenemismoodi on ns. TE-11 ja sen raja-aallonpituus voidaan määrittää olevan:

$\lambda _{c}=J_{n}^{\prime }(k_{c},r)=3.412\ r\,$

missä:

• r on putken sisäsäde.

Pyöreän aaltoputken aallonpituus voidaan näin lausua olevan:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(\lambda /3.412\ r\right)^{2}}}}\,$

Seuraava mutkikkaampi etenemismoodi on TM-01, jolle $\lambda _{c}=2.613\ r\,$. Tämä vastaa taajuutta, joka on vain noin 1.3 kertainen TE-11 alarajataajuuteen, joten pyöreä putki toimii havaittavasti kapeammalla taajuusalueella, kuin suorakaideputki.

Harjanneputki (ridged waveguide)

Tekemällä suorakaideputken pitkän sivun keskelle pitkittäinen harjanne (joko vain toiseen sivuun, tai molempiin), saadaan tehtyä putki, jossa käyttökelpoinen taajuusalue on huomattavasti laajempi, kuin tavallisessa putkessa. Tämä seuraa keskiharjanteen olemassaolon haitasta ylemmille etenemismuodoille.

Tyypillisesti käyttökelpoinen ylätaajuus voi olla 2.0-2.5 kertainen alarajaan nähden.

Koska harjanneputkessa sähkökenttä on harjanteiden välillä lyhimmillään, myös läpilyönti voi tapahtua pienemmällä jännitteellä kuin harjanteettomassa tavallisessa suorakaideputkessa. Näin harjanneputken maksimi tehokesto on pienempi, kuin suorakaideputkella.