RMS

Sähkötekninen käyttö

Jonkin funktion RMS-arvoa käytetään monissa tapauksissa fysiikassa. Esimerkiksi halutessamme laskea (Ohmin lain mukaan) häviötehon P joka menee hukkaan johteen resistanssiin R, se on helppo laskea vakiolle virralle I:

(1)\qquad \qquad P=I^{2}\cdot R

Mutta kun virta muuttuu aikaa myöten ? (Kuten vaihtovirta tekee.) Vaihdetaan virran termiksi I_rms ja saamme:

(2)\qquad \qquad P=I_{\rm {rms}}^{2}\cdot R

Yleisessä tapauksessa kun kyseessä on sini-muotoinen vaihtovirta, RMS-arvo on helppo laskea yhtälöllä (2) yltä:

I_{\rm {rms}}={\sqrt {1/2}}\cdot I_{\rm {huippu}}

missä I_huippu on virran huippuarvo.

Kääntäen:

I_{\rm {huippu}}={\sqrt {2}}\cdot I_{\rm {rms}}

RMS-arvo voidaan laskea laskea yhtälöllä (2) mille tahansa aaltomuodolle, esim. äänelle tai radiosignaalille. Tämä mahdollistaa keskimääräisen tehon laskemisen mielivaltaiseen vakioon kuormaan. Tästä syystä vaihtovirtajakeluverkkojen jännitteet kerrotaan RMS-arvoina, eikä huipusta-huippuun arvoina, tms.

On tärkeää huomata, että RMS-arvo on keskiarvo, eikä hetkellinen mittausarvo. Siksi ilmaisut "RMS huipputeho", "peak RMS power", jne. joilla mm. audiovahvistimia mainostetaan ovat harhaanjohtavia.

Taustat

Matematiikassa termi root mean square tai rms ovat tilastollisia mittoja muuttuvan arvon suuruudesta. Ne voidaan laskea sarjasta yksittäisiä arvoja, tai jatkuvasta funktiosta. Nimi tulee siitä, että tässä on arvojen neliöiden keskiarvon neliöjuuri (square Root of the Mean of the Squares of the values).

RMS:n laskeminen N alkion joukolle arvoja {x₁, x₂, ... , x_N} on:

x_{\rm {rms}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}}{N}}}

ja vastaava lauseke jatkuvalle funktiolle f(t) määriteltynä yli aikajakson T₁ ≤ t ≤ T₂ on:

x_{\rm {rms}}={\sqrt {{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.

RMS sinille

Yhdelle Sinin jaksolle ( $2\pi \,$ ) RMS-arvon suhde huippuarvoon on silloin:

$x_{\rm {rms}}\,$	$={\sqrt {{\frac {1}{2\pi -0}}{\int _{0}^{2\pi }{[sin(t)]}^{2}\,dt}}}$
	$={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\left[{/_{t=0}^{t=2\pi }{{\frac {1}{2}}\left(t-\sin(t)\cos(t)\right)}}\right]}}$
	$={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{2}}\left(\left(2\pi -\sin(2\pi )\cos(2\pi )\right)-\left(0-\sin(0)\cos(0)\right)\right)}}$
Koskapa sin(0) = sin(2pi) = 0 ja cos(0) = cos(2pi) = 1:
	$={\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{2}}\left(2\pi \right)}}$
	$={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$