Poynting-teoreema on Maxwellin yhtälöiden erityisratkaisu kysymykseen:
Millä nopeudella sähkömagneettinen energia kulkee vapaan avaruuden tai minkään muun väliaineen läpi, varastoituu sähkö- ja magneettikenttiin tai muuttuu lämmöksi?
(Edellä "nopeus" ei tarkoita signaalin nopeutta, vaan erityisesti steady-state tilanteen suhteita millä energia muuttuu muodosta toiseen.)
Poyntingin vektori on sähkö- ja magneettikenttien ristitulo ja kertoo, että minne suuntaan sähkömagneettinen energia etenee:
|
(eq.1)
|
Kompleksisten kenttävektorien kompleksisten tehotermien näkökulmasta,
kahden kompleksisen vektorin aikakeskiarvo on yhtäsuuri kuin
kompleksinen vektori kerrottuna toisen vektorin kompleksikonjugaatilla.
Näin hetkellisen Poyntingin vektorin vakaan tilan aikakeskiarvoksi
muodostuu:
|
(eq.2)
|
missä
-merkintä tarkoittaa
keskiarvoa ja kerroin ½ esiintyy kompeksitehon yhtälöissä, kun huippuarvoja
käytetään kompeksisten E ja H suureiden kanssa. "Re" tarkoittaa
reaaliosaa kompleksisesta tehosta ja tähti tarkoittaa kompleksikonjugaattia.
Näin ollen on tarve määritellä kompleksinen Poyntingin vektori näin:
|
(eq.3)
|
Maxwellin yhtälöt taajuusdomainissa sähkö- ja magneettikentille ovat:
|
|
(eq.4-E)
|
|
|
(eq.4-H)
|
Yhtälön (eq.4-E) ja H*, sekä yhtälön (eq.4-H) ja E väliset pistetulot tuottavat:
|
|
(eq.5-E)
|
|
|
(eq.5-H)
|
Sitten vähentämällä yhtälö (eq.5-E) yhtälöstä (eq.5-H) ja korvaamalla
pistetulo E·E* |E|²:lla ja H·H* |H|²:lla:
|
(eq.6)
|
Vektori-identiteetin perusteella yhtälön (eq.6) vasen puoli on yhtä kuin:
, jolloin saamme:
|
(eq.7)
|
Sijoittamalla virtatiheyden komponenttiyhtälö
ja
kompleksinen Poyntingin vektoriyhtälö (eq.3) yhtälöön (eq.7), saamme:
|
(eq.8)
|
Integroimalla yhtälö (eq.8) yli tilavuuden ja soveltamalla Gaussin teoreemaa viimeiseen oikean puolen termiin, saamme:
|
(eq.9)
|
missä:
on säteiltävän tehon aikakeskiarvo
on magneettikenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
on sähkökenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
kompleksinen teho, jonka lähde J0 aikaansaa kentässä
Yhtälö (eq.9) tunnetaan yleisesti kompleksisena Poyntingin teoreemana tai
Poyntingin teoreemana taajuusdomainissa.
Asetettakoot:
![{\displaystyle P_{in}=-\int _{v}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(\mathbf {E} \bullet \mathbf {J} _{0}^{*}\right)dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e4183691fbdd3bb57965d03ff7267889665f5e)
- lähteen alueeseen syöttämä kompleksinen teho
![{\displaystyle \left\langle P_{\mathrm {d} }\right\rangle =\int _{v}{\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}\sigma \left|E\right|^{2}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f663f80d2a63b9852da4cc7904a3cf91b0e62f30)
- aikakeskiarvo alueen sisällä lämmöksi muuttuneesta tehosta
![{\displaystyle \left\langle W_{m}-W_{e}\right\rangle =\int _{v}\left(w_{m}-m_{e}\right)dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2253856c5b65afae65dffe4fcf6da6dcdd7fb045)
- alueeseen varastoituneen magneettisen ja sähköisen energian
aikakeskiarvojen ero
![{\displaystyle P_{tr}=\oint \mathbf {P} \bullet d\mathbf {s} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f4543ae9ab92c62046231461b5658c12d42caa)
-
- alueelta ulos säteillyt kompleksinen teho
Yhtälön (eq.9) esittämä kompleksinen Poyntingin teoreema voidaan yksinkertaistaa
muotoon:
|
(eq.10)
|
Tämä teoreema lausuu, että: tilavuuteen syötetty kompleksinen kokonaisteho on yhtä suuri kuin algebraalinen summa lämpönä poistuneesta aktiivisesta tehosta, plus tilavuuden reaktiivinen teho (sähkö- ja magneettikenttiin varastoituneen energian erot), plus kompleksinen teho joka poistuu tilavuutta rajoittavan pinnan kautta ulos.