Poynting-teoreema on Maxwellin yhtälöiden erityisratkaisu kysymykseen:
Millä nopeudella sähkömagneettinen energia kulkee vapaan avaruuden tai minkään muun väliaineen läpi, varastoituu sähkö- ja magneettikenttiin tai muuttuu lämmöksi?
(Edellä "nopeus" ei tarkoita signaalin nopeutta, vaan erityisesti steady-state tilanteen suhteita millä energia muuttuu muodosta toiseen.)
Poyntingin vektori on sähkö- ja magneettikenttien ristitulo ja kertoo, että minne suuntaan sähkömagneettinen energia etenee:
|
(eq.1)
|
Kompleksisten kenttävektorien kompleksisten tehotermien näkökulmasta,
kahden kompleksisen vektorin aikakeskiarvo on yhtäsuuri kuin
kompleksinen vektori kerrottuna toisen vektorin kompleksikonjugaatilla.
Näin hetkellisen Poyntingin vektorin vakaan tilan aikakeskiarvoksi
muodostuu:
|
(eq.2)
|
missä -merkintä tarkoittaa
keskiarvoa ja kerroin ½ esiintyy kompeksitehon yhtälöissä, kun huippuarvoja
käytetään kompeksisten E ja H suureiden kanssa. "Re" tarkoittaa
reaaliosaa kompleksisesta tehosta ja tähti tarkoittaa kompleksikonjugaattia.
Näin ollen on tarve määritellä kompleksinen Poyntingin vektori näin:
|
(eq.3)
|
Maxwellin yhtälöt taajuusdomainissa sähkö- ja magneettikentille ovat:
|
|
(eq.4-E)
|
|
|
(eq.4-H)
|
Yhtälön (eq.4-E) ja H*, sekä yhtälön (eq.4-H) ja E väliset pistetulot tuottavat:
|
|
(eq.5-E)
|
|
|
(eq.5-H)
|
Sitten vähentämällä yhtälö (eq.5-E) yhtälöstä (eq.5-H) ja korvaamalla
pistetulo E·E* |E|²:lla ja H·H* |H|²:lla:
|
(eq.6)
|
Vektori-identiteetin perusteella yhtälön (eq.6) vasen puoli on yhtä kuin: , jolloin saamme:
|
(eq.7)
|
Sijoittamalla virtatiheyden komponenttiyhtälö
ja
kompleksinen Poyntingin vektoriyhtälö (eq.3) yhtälöön (eq.7), saamme:
|
(eq.8)
|
Integroimalla yhtälö (eq.8) yli tilavuuden ja soveltamalla Gaussin teoreemaa viimeiseen oikean puolen termiin, saamme:
|
(eq.9)
|
missä:
- on säteiltävän tehon aikakeskiarvo
- on magneettikenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
- on sähkökenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
- kompleksinen teho, jonka lähde J0 aikaansaa kentässä
Yhtälö (eq.9) tunnetaan yleisesti kompleksisena Poyntingin teoreemana tai
Poyntingin teoreemana taajuusdomainissa.
Asetettakoot:
- lähteen alueeseen syöttämä kompleksinen teho
- aikakeskiarvo alueen sisällä lämmöksi muuttuneesta tehosta
- alueeseen varastoituneen magneettisen ja sähköisen energian
aikakeskiarvojen ero
-
- alueelta ulos säteillyt kompleksinen teho
Yhtälön (eq.9) esittämä kompleksinen Poyntingin teoreema voidaan yksinkertaistaa
muotoon:
|
(eq.10)
|
Tämä teoreema lausuu, että: tilavuuteen syötetty kompleksinen kokonaisteho on yhtä suuri kuin algebraalinen summa lämpönä poistuneesta aktiivisesta tehosta, plus tilavuuden reaktiivinen teho (sähkö- ja magneettikenttiin varastoituneen energian erot), plus kompleksinen teho joka poistuu tilavuutta rajoittavan pinnan kautta ulos.