Vapaan tilan matkavaimennus

Eri kirjoissa esiintyy erilaisia yhtälöitä vapaan tilan matkavaimennukselle. Tässä koetetaan selvittää mikä olisi oikea lähtien fysikaalisista perusteista.

Käsittelemällä Friisin yhtälöä ykkösvahvistuksilla antenneissa, saamme geometrinen vapaan tilan matkavaimennuksen:

$L_{fs}=\left({\frac {4\pi r}{\lambda }}\right)^{2}$

Jossa

• $r$ on etäisyys (range)
• $\lambda \,$ on aallonpituus samassa yksikössä, kuin etäisyys yllä.

Tästä myös seuraa, että 80m bandilla signaali kuuluu kertoimella $(80/2)^{2}\,$ voimakkaammin ( = 32 dB ), kuin 2m signaali saman matkan päähän. (Olettaen vapaan avaruuden, mikä antaa vähimmäisvaimennuksen, reaalimaailman vaimennukset ovat voimakkaampia.. monitieilmiöt ja lähikenttä tässä ohittaen.)

(Hyvä esitys linkkibudjetin laskennasta: http://www.cix.co.uk/~sjbradshaw/msc/ttc.html)

Yleensä nämä esitetään maagisina taajuuden ja etäisyyden logaritmeina vakioiden kera..

Yksi muoto on:

To calculate free-space loss I use the equation: $36.6+20\log _{10}(D)+20\log _{10}(f)$, where $D$ is the distance in miles and $f$ is the frequency in MHz.

Tuon logaritmipuuron johto yllä olevasta geometrisesta yhtälöstä on opettavaista. $20\log _{10}\left(x\right)$ on toinen tapa sanoa dB laskennan tavallinen: $10\log _{10}\left(x^{2}\right)$, kun parametrin potenssi siirretään logaritmin ulkopuolelle:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=10*\log _{10}\left(\left(4\pi *r/\lambda \right)^{2}\right)\,$
	$=2*10\log _{10}\left(4\pi *r/\lambda \right)\,$	toisen potenssin siirto
	$=20*\left(\log _{10}(4\pi )+\log _{10}(r)-\log _{10}(\lambda )\right)\,$	kertolaskut yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi
	$=21.98+20\log _{10}(r)-20\log _{10}(\lambda )\,$	uudelleenjärjestelyjä

Tuo siis silloin, kun r ja $\lambda \,$ on esitetty samalla pituusmittayksiköllä.

Taajuuden ja aallonpituuden välillä on relaatio:

$\lambda \ [m]={\frac {c\ [m/s]}{f\ [1/s]}}$

Muutetaan $\lambda \,$ Hertzeiksi:

$L_{fs}=\left({\frac {4\pi R}{\lambda }}\right)^{2}=\left({\frac {4\pi Rf}{c}}\right)^{2}$

Sijoittamalla Friisin yhtälöstä saatuun muotoon:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$10*\log _{10}\left(\left(4\pi *r*f/c\right)^{2}\right)\,$
	$=$	$2*10\log _{10}(4\pi *r*f/c)\,$		toisen potenssin siirto
	$=$	$20*(\,$	$\log _{10}(4\pi )+\log _{10}(r)\,$	kertolaskut yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi
			$+\log _{10}(f)-\log _{10}(c)\ )\,$
	$=$	$21.98-20\log _{10}(c)\,$		uudelleenjärjestelyjä
		$+\ 20\log _{10}(r)+20\log _{10}(f)\,$

Muunnetaan $\lambda \,$ megaHertseiksi: valitaan vakiot niin, että tulos on suoraan MHz:

$\lambda \ [m]={\frac {300\ [Mm/s]}{f\ [MHz]}}$

("300" on niin lähelle oikeaa, että logaritmin tulos on sama kahdella desimaalilla.)

Sijoitetaan ylle: (etäisyyden (r) yksiköksi tulee samalla metri)

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$21.98-20\log _{10}(c)\,$	Lähtökohta
		$\ +20\log _{10}(r)+20\log _{10}(f)\,$
	$=$	$21.98-20\log _{10}(300)\,$	metrinen etäisyys, valonnopeus ja megahertsi
		$\ +20\log _{10}(r\ [m])+20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$21.98-49.54+20\log _{10}(r\ [m])\,$	vakiot sieventäen, vaihe 1
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$-27.56+20\log _{10}(r\ [m])\,$	vakiot sieventäen, vaihe 2
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$

Muutetaan vielä etäisyys kilometreiksi:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$-27.56+20\log _{10}(r\ [km]*1000)$	kilometreissä lausuttuna
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$-27.56+20\log _{10}(r\ [km])+60\,$	sievennetään
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$32.44+20\log _{10}(r\ [km])+20log_{10}(f\ [MHz])\,$

Verrataan sitten tuohon jenkkimitoin olevaan log-loitsuun:

Valonnopeusmuunnoskerroin maileina on: $(300/1.609)=186.45$ jonka $20\log _{10}\left(186\right)=45.41\,$ (eli 4.13 pienempi vakio, kuin metreinä.)

Etäisyyden muutostermi metreistä maileiksi: 1609.344:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$21.98-20\log _{10}(c)\,$	Lähtökohta
		$\ +20\log _{10}(r)+20\log _{10}(f)\,$
	$=$	$21.98-20\log _{10}(186.45)\,$	Etäisyys ja valonnopeus maileiksi, taajuus megahertseiksi
		$\ +20\log _{10}(r\ [maili]*1609.344)\,$
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$21.98-45.41\,$	kertolaskut yhteenlaskuiksi, jakolaskut vähennuslaskuiksi
		$\ +20\log _{10}(r\ [maili])+64.13\,$
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$40.70+20\log _{10}(r\ [maili])\,$	sievennys
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$

Mistähän tulee tuo ero:  40.7 vs. 36.6 ?   ( 4.1 dB ero vakiossa..)
Valonnopeuden saaminen väärin antaisi juuri tuon...

Lukijalle jätetään tehtäväksi johtaa oikeat kertoimet taajuudelle GHz:einä sekä metrisille, että imperialistisille mitoille.