Vapaan tilan matkavaimennus

Eri kirjoissa esiintyy erilaisia yhtälöitä vapaan tilan matkavaimennukselle. Tässä koetetaan selvittää, mikä olisi oikea lähtien fysikaalisista perusteista.

Aina pätee: voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.

(Eli etäisyyden tuplaaminen heikentää signaalia neljäsosaan -- mutta lähtötason määrääminen onkin sitten eri juttu...)

Friisin yhtälö

Käsittelemällä Friisin yhtälöä ykkösvahvistuksilla antenneissa, saamme geometrinen vapaan tilan matkavaimennuksen:

L_{fs}=\left({\frac {4\pi r}{\lambda }}\right)^{2}

Jossa

$r$ on etäisyys (range)
$\lambda \,$ on aallonpituus samassa yksikössä, kuin etäisyys yllä.

Kaikilla aallonpituuksilla toki pätee kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön, mutta Friisin yhtälön vaikuttavana terminä on sieppauspinta-ala, joka on aallonpituusriippuvainen ja siitä seuraa:

.. että 80m bandilla signaali kuuluu kertoimella $(80/2)^{2}\,$ voimakkaammin ( = 32 dB ), kuin 2m signaali saman matkan päähän. (Olettaen vapaan avaruuden, mikä antaa vähimmäisvaimennuksen, reaalimaailman vaimennukset ovat voimakkaampia.. monitieilmiöt ja lähikenttä tässä ohittaen.)

Logaritmimuodon johto

Yleensä nämä esitetään maagisina taajuuden ja etäisyyden logaritmeina vakioiden kera ilman pidempiä selityksiä. Tässä on kerätty niitä selityksiä:

Yksi muoto on:

To calculate free-space loss I use the equation: $36.6+20\log _{10}(D)+20\log _{10}(f)$ , where $D$ is the distance in miles and $f$ is the frequency in MHz.

Tuon logaritmipuuron johto yllä olevasta geometrisesta yhtälöstä on opettavaista. $20\log _{10}\left(x\right)$ on toinen tapa sanoa dB laskennan tavallinen: $10\log _{10}\left(x^{2}\right)$ , kun parametrin potenssi siirretään logaritmin ulkopuolelle:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=10\log _{10}\left(\left(4\pi r/\lambda \right)^{2}\right)\,$
	$=210\log _{10}\left(4\pi r/\lambda \right)\,$	toisen potenssin siirto
	$=20*\left(\log _{10}(4\pi )+\log _{10}(r)-\log _{10}(\lambda )\right)\,$	kertolaskut yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi
	$=21.98+20\log _{10}(r)-20\log _{10}(\lambda )\,$	uudelleenjärjestelyjä

Tuo siis silloin, kun r ja $\lambda \,$ on esitetty samalla pituusmittayksiköllä.

Taajuuden ja aallonpituuden välillä on relaatio:

\lambda \ [m]={\frac {c\ [m/s]}{f\ [1/s]}}

Muutetaan $\lambda \,$ Hertzeiksi:

L_{fs}=\left({\frac {4\pi R}{\lambda }}\right)^{2}=\left({\frac {4\pi Rf}{c}}\right)^{2}

Sijoittamalla Friisin yhtälöstä saatuun muotoon:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$10\log _{10}\left(\left(4\pi r*f/c\right)^{2}\right)\,$
	$=$	$210\log _{10}(4\pi r*f/c)\,$		toisen potenssin siirto
	$=$	$20*(\,$	$\log _{10}(4\pi )+\log _{10}(r)\,$	kertolaskut yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi
			$+\log _{10}(f)-\log _{10}(c)\ )\,$	kertolaskut yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi
	$=$	$21.98-20\log _{10}(c)\,$		uudelleenjärjestelyjä
		$+\ 20\log _{10}(r)+20\log _{10}(f)\,$		uudelleenjärjestelyjä

Muunnetaan $\lambda \,$ megaHertseiksi: valitaan vakiot niin, että tulos on suoraan MHz:

\lambda \ [m]={\frac {300\ [Mm/s]}{f\ [MHz]}}

("300" on niin lähelle oikeaa, että logaritmin tulos on sama kahdella desimaalilla.)

Sijoitetaan ylle: (etäisyyden (r) yksiköksi tulee samalla metri)

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$21.98-20\log _{10}(c)\,$	Lähtökohta
		$\ +20\log _{10}(r)+20\log _{10}(f)\,$
	$=$	$21.98-20\log _{10}(300)\,$	metrinen etäisyys, valonnopeus ja megahertsi
		$\ +20\log _{10}(r\ [m])+20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	metrinen etäisyys, valonnopeus ja megahertsi
	$=$	$21.98-49.54+20\log _{10}(r\ [m])\,$	vakiot sieventäen, vaihe 1
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	vakiot sieventäen, vaihe 1
	$=$	$-27.56+20\log _{10}(r\ [m])\,$	vakiot sieventäen, vaihe 2
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	vakiot sieventäen, vaihe 2

Muutetaan vielä etäisyys kilometreiksi:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$-27.56+20\log _{10}(r\ [km]*1000)$	kilometreissä lausuttuna
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	kilometreissä lausuttuna
	$=$	$-27.56+20\log _{10}(r\ [km])+60\,$	sievennetään
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	sievennetään
	$=$	$32.44+20\log _{10}(r\ [km])+20log_{10}(f\ [MHz])\,$

Logaritmimuoto jenkkimitoilla

Verrataan sitten tuohon jenkkimitoin olevaan log-loitsuun:

Valonnopeus ei muutu ja alkuperäinen mitaton $\lambda \,$ on sen kautta sidottu taajuuteen
Taajuus on Hertsejä
Etäisyyden muutostermi metreistä maileiksi: 1609.344:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=$	$21.98-20\log _{10}(c)\,$	Lähtökohta
		$\ +20\log _{10}(r)+20\log _{10}(f)\,$
	$=$	$21.98-20\log _{10}(300)\,$	Etäisyys maileiksi, taajuus megahertseiksi
		$\ +20\log _{10}(r\ [maili]*1609.344)\,$
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$21.98-49.54\,$	kertolaskut yhteenlaskuiksi, jakolaskut vähennuslaskuiksi
		$\ +20\log _{10}(r\ [maili])+64.13\,$
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$
	$=$	$36.57+20\log _{10}(r\ [maili])\,$	sievennys
		$\ +20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	sievennys