Vapaan tilan matkavaimennus

Eri kirjoissa esiintyy erilaisia yhtälöitä vapaan avaruuden matkavaimennukselle. Tässä koetetaan selvittää mikä olisi oikea lähtien fysikaalisista perusteista.

Käsittelemällä Friisin yhtälöä ykkösvahvistuksilla antenneissa, saamme geometrinen vapaan avaruuden matkavaimennuksen:

$L_{fs}=\left({\frac {4\pi R}{\lambda }}\right)^{2}$

Jossa

• $R$ on etäisyys (range)
• $\lambda \,$ on aallonpituus samassa yksikössä, kuin etäisyys yllä.

Tästä myös seuraa, että 80m bandilla signaali kuuluu kertoimella $(80/2)^{2}\,$ voimakkaammin ( = 32 dB ), kuin 2m signaali saman matkan päähän. (Olettaen vapaan avaruuden, mikä antaa vähimmäisvaimennuksen, reaalimaailman vaimennukset ovat voimakkaampia.. monitieilmiöt ja lähikenttä tässä ohittaen.)

(Hyvä esitys linkkibudjetin laskennasta: http://www.cix.co.uk/~sjbradshaw/msc/ttc.html)

Yleensä nämä esitetään maagisina taajuuden ja etäisyyden logaritmeina vakioiden kera..

Yksi muoto on:

To calculate free-space loss I use the equation $36.6+20\log _{10}(D)+20\log _{10}(f)$, where $D$ is the distance in miles and $f$ is the frequency in MHz.

Tuon logaritmipuuron johto yllä olevasta geometrisesta yhtälöstä on opettavaista. $20\log _{10}\left(X\right)$ on toinen tapa sanoa dB laskennan tavallinen: $10\log _{10}\left(X^{2}\right)$, kun parametrin potenssi siirretään logaritmin ulkopuolelle:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=10*\log _{10}\left(4\pi \left(etaisyys/\lambda \right)^{2}\right)$
	$=2*10\log _{10}\left(4\pi (etaisyys/\lambda )\right)$	toisen potenssin siirto
	$=20*\left(\log _{10}(4\pi )+\log _{10}(etaisyys)-\log _{10}(\lambda )\right)$	kertolaskut yhteenlaskuksi, jakolasku vähennyslaskuksi
	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys\right)-20\log _{10}\left(\lambda \right)\,$	uudelleenjärjestelyjä

Tuo siis silloin, kun $etaisyys$ ja $\lambda \,$ on esitetty samalla pituusmittayksiköllä.

Muunnetaan $\lambda \,$ megaHertseiksi:

$\lambda [m]={\frac {c[m/s]}{f[1/s]}}$

valitaan vakiot niin, että tulos on suoraan MHz:

$\lambda [m]={\frac {300[Mm/s]}{f[MHz]}}$

("300" on niin lähelle oikeaa, että logaritmin tulos on sama kahdella desimaalilla.)

Sijoitetaan ylle: (etäisyyden yksiköksi tulee samalla metri)

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[m]\right)-20\log _{10}\left(\lambda \right)\,$	Lähtökohta
	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[m]\right)-20\log _{10}\left({\frac {300}{f\ [MHz]}}\right)\,$	Sijoitettiin aallonpituuden paikalle taajuus
	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[m]\right)-20\log _{10}\left(300\right)+20\log _{10}\left(f\ [MHz]\right)\,$	jakolasku vähennyslaskuksi
	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[m]\right)-49.54+20\log _{10}\left(f\ [MHz]\right)\,$	vakiot sieventäen, vaihe 1
	$=-27.56+20\log _{10}\left(etaisyys[m]\right)+20\log _{10}\left(f\ [MHz]\right)\,$	vakiot sieventäen, vaihe 2
muutetaan vielä etäisyys kilometreiksi:
$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=-27.56+20\log _{10}\left(etaisyys[km]*1000\right)+20\log _{10}\left(f\ [MHz]\right)\,$	kilometreissä lausuttuna
	$=-27.56+20\log _{10}\left(etaisyys[km]\right)+60+20\log _{10}\left(f\ [MHz]\right)\,$	sievennetään
	$=32.44+20\log _{10}\left(etaisyys[km]\right)+20log_{10}\left(f\ [MHz]\right)\,$

Verrataan sitten tuohon jenkkimitoin olevaan log-loitsuun:

Valonnopeusmuunnoskerroin maileina on: $(300/1.609)=186.45$ jonka $20\log _{10}\left(186\right)=45.41\,$ (eli 4.13 pienempi vakio, kuin metreinä.)

Etäisyyden muutostermi metreistä maileiksi: 1609.344:

$Loss_{\mbox{FreeSpace}}[dB]$	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[m]\right)-20\log _{10}\left({\frac {300}{f\ [MHz]}}\right)\,$	Lähtökohta
	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[maili]*1609.344\right)-20\log _{10}\left({\frac {186.45}{f\ [MHz]}}\right)\,$
	$=21.98+20\log _{10}\left(etaisyys[maili]\right)+64.13-45.41+20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	kertolaskut yhteenlaskuiksi, jakolaskut vähennuslaskuiksi
	$=40.70+20\log _{10}\left(etaisyys[maili]\right)+20\log _{10}(f\ [MHz])\,$	sievennys

Mistähän tulee tuo ero:  40.7 vs. 36.6 ?   ( 4.1 dB ero vakiossa..)

Lukijalle jätetään tehtäväksi johtaa oikeat kertoimet taajuudelle GHz:oina sekä metrisille, että imperialistisille mitoille.