Tutkayhtälö

Tutkayhtälö kuten se EME-matkavaimennus sivun tekstin lähteen kommenteissa oli kirjoitettu:

$P_{radareq}[dB]=10\log _{10}\left({\frac {16s_{refl}^{2}}{d_{refl}^{2}}}\right)\,$

(Vaimennuksen positiivisena lisääntymisterminä, ei negatiivisena vahvistusterminä.)

Mikä tämä on oikeasti ? Miten alla olevasta bistaattisen tutkan yhtälöstä saadaan EME-matkavaimennus yhtälöt, joissa tämä termi esiintyy ?

TODO: lähdeanalyysi, verifiointi.. Aikojen saatossa on näkynyt paljon kirjoissa olevia yhtälöitä joissa on Jotain Vialla

---

Tutkayhtälön muodostaminen

Tutkayhtälö kuvaa tutka-asetelman kolmen osan: lähettimen, kohteen sirontaparametrien ja vastaanottimen keskinäisiä signaalisuhteita.

Kun lähetetään teholla $P_{t}$ ja lähetinantennin vahvistuksella $G_{t}$ kohti kohdetta, saadaan sirontakohteella:

$S_{s}=\left(P_{t}G_{t}\right)\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)\,$

jossa $S_{s}$ on tehotiheys sirottavalla kohteella. Edellä $\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)\,$ on "matkavaimennus" (spreading loss).

Saadaksemme sirontakohteen sieppaaman kokonaistehon, kerromme sille lankeavan tehotiheyden ($S_{s}\,$) kohteen tehollisella sieppauspinta-alalla (tutkapinta-ala, englanniksi: radar cross-section, RCS) ($A_{rs}\,$):

$P_{rs}=A_{rs}*S_{s}\,$

Huomaa toki, että tämä tutkapinta-ala ei ole kohteen todellinen fyysinen pinta-ala (normaalissa tutkatilanteessa,) vaan sellainen ala, jolta saapuva teho poistuisi, jos voitaisiin olettaa kaiken muun tehon menevän kohteen ohi häviöttä. $A_{rs}\,$:n todellinen arvo riippuu sekä sirottajan tehokkuudesta, että vastaanotinantennista. (Siksi tutkassa näkymättömien laitteiden sanotaan mm. omaavan pienen tutkapinta-alan.)

Osa sirontakohteeseen osuvasta energiasta absorboituu sinne, ellei kyseessä ole täydellinen johde tai eriste. Loppu säteilee uudelleen erilaisiin suuntiin. Kun absorboitunut osa on: $(1-\eta )\,$, niin uudelleensäteilevä osa on: $\eta \,$ (jota kutsutaan joissain tilanteissa "radio aleboksi",) silloin kokonaisuudessaan uudelleensäteillyt teho on:

$P_{ts}=P_{rs}\eta \,$

Erilaiset kohteessa tapahtuvat johtuma- ja siirtymävirrat tuottavat radiotehon uudelleensäteilyä, jolla on oma suuntakuvionsa (kuten antenneilla). Huomaa myös, että sirottajan tehollinen sieppauspinta-ala riippuu radiotehon saapumissuunnasta, joten yllä oleva $A_{rs}\,$ pitää ymmärtää pätevän vain nimenomaisesta suunnasta tulevaan radiotehoon. (Joskus nämä yhtälöt esitetäänkin vektorimuodossa, joka käsittelee myös suuntia.)

Uudelleensäteilyn suuntakuvio ei välttämättä ole sama, kuin $A_{rs}\,$:n sisääntuleva kuvio, lisäksi mahdollinen vahvistus vastaanottimen suuntaan merkitsee uudelleensäteilykuviolle ykkösestä poikkeavaa tekijää. Näin saamme:

$S_{r}=P_{ts}G_{ts}\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)$

missä $P_{ts}\,$ on uudelleensäteilty kokonaisteho, $G_{ts}\,$ on sironnan vahvistus vastaanottimen suuntaan ja ${\frac {1}{4\pi R^{2}}}\,$ on uudelleensäteilyn jälkeinen matkavaimennus.

Huomionarvoinen ero linkkijänteen ja tutkasironnan välillä on, että linkkijänteellä on vain yksi vapaatilan vaimennustermi, kun tutkalla niitä on kaksi. Siispä jos $R_{r}=R_{t}\,$ ja siten kokonaismatka on $2R_{t}\,$, niin linkkijänteelle tällaisella matkalla matkavaimennus on vain:

${\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)\,$

kun tutkalle se on:

$\left({\frac {1}{4}}\pi \right)^{2}\left({\frac {1}{R_{t}}}\right)^{4}\,$

Siis kaikkiaan matkavaimennus on tutkalle paljon suurempi, kuin saman mittaiselle linkkijänteelle.

Vastaanottimeen saapuva radioteho on:

$P_{r}=S_{r}A_{r}\,$

missä $A_{r}\,$ on vastaanotinantennin tehollinen pinta-ala, ei sen todellinen pinta-ala! $A_{r}\,$ ei riipu pelkästään suunnasta, vaan myös vastaanottimen antennille tarjoamasta kuormaimpedanssista. Esimerkiksi: $P_{r}\,$:n pitää olla nolla, jos kuorma on oikosulku tai avoin piiri.

Keräämällä yhteen kaikki viisi edellä olevaa yhtälöä, saamme:

$P_{r}$	$=\left(P_{t}G_{t}\right)\left({\frac {1}{4\pi R_{t}^{2}}}\right)A_{rs}\eta G_{ts}\left({\frac {1}{4\pi R_{r}^{2}}}\right)A_{r}$
	$=\left({\frac {P_{t}G_{t}A_{r}}{(4\pi )^{2}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}\right)\left[A_{rs}\eta G_{ts}\right]$

Sirontaan liittyvät tekijät on kerätty hakasulkeiden sisään. Näitä tekijöitä on vaikea mitata yksittäin ja loppupelissä niiden keskinäiset suuruudet ovat merkityksettömiä kun ollaan kiinnostuneita vastaanottimeen saatavasta tutkasignaalista. Niinpä ne tavallisesti yhdistetään yhdeksi termiksi: Tutkapinta-alaan (radar cross section):

$\sigma =A_{rs}\eta G_{ts}\,$

Tämä tutkapinta-ala ($\sigma \,$ = 'sigma') riippuu saapuvan radiotehon suunnasta, vastaanottimen suunnasta, sekä sirottavan kohteen muotosta ja dielektrisistä ominaisuuksista.

Antennin tehollinen sieppauspinta-ala suhtautuu sen vahvistukseen yhtälöllä:

$A={\frac {\lambda ^{2}G}{4\pi }}\,$

("annettuna" - johtoa ei nyt esitetä)

Lähetin ja vastaanotin erillään

Kun sirontaparametrit korvataan tutkapinta-alalla, saadaan yleinen bistaattisen tutkan yhtälö:

$P_{r}={\frac {P_{t}G_{t}A_{r}}{(4\pi )^{2}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}\sigma ={\frac {P_{t}G_{t}\lambda ^{2}G_{r}}{(4\pi )^{3}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}\sigma \,$

Ensimmäinen muoto käyttää vastaanotinantennin tehollista sieppauspinta-alaa, toinen sen vahvistusta.

Tehdään tälle vielä desibelilaskennan logaritmitemput:

$R_{r}=\,$	$10\log _{10}(P_{t})+10\log _{10}(G_{t})+10\log _{10}(A_{r})\,$
	$\ -20\log _{10}(4\pi )-20\log _{10}(R_{t})-20\log _{10}(R_{r})+10\log _{10}(\sigma )\,$
$=$	$10\log _{10}(P_{t})+10\log _{10}(G_{t})+20\log _{10}(\lambda )\,$
	$+10\log _{10}(G_{r})-30\log _{10}(4\pi )-20\log _{10}(R_{t})\,$
	$-20\log _{10}(R_{r})+10\log _{10}(\sigma )\,$
$=$	$10\log _{10}(P_{t})+10\log _{10}(G_{t})+20\log _{10}(c)-20\log _{10}(f)\,$
	$+10\log _{10}(G_{r})-30\log _{10}(4\pi )-20\log _{10}(R_{t})\,$
	$-20\log _{10}(R_{r})+10\log _{10}(\sigma )\,$

Edellä $R_{t}$, $R_{r}$, $\lambda \,$ ovat keskenään samaa mittayksikköä, mutta c ja f ovat aina metrisiä. (Valon nopeus ei muutu.)

Lähetin ja vastaanotin yhdessä

Yleisimmässä käyttötapauksessa lähetin ja vastaanotin ovat samassa paikassa, joten lähettimen ja vastaanottimen etäisyydet ovat samat. Melkein yhtä yleistä on, että samaa antennia käytetään sekä lähettämiseen, että vastaanottamiseen:

$R_{t}\,$	$=\,$	$R_{r}\,$	$=\,$	$R\,$
$G_{t}\,$	$=\,$	$G_{r}\,$	$=\,$	$G\,$
$A_{t}\,$	$=\,$	$A_{r}\,$	$=\,$	$A\,$

Voimme kirjoittaa lopullisen tutkayhtälön (monostaattiselle tutkalle) muotoon:

$P_{r}={\frac {P_{t}G^{2}\lambda ^{2}\sigma }{(4\pi )^{3}R^{4}}}={\frac {P_{t}A^{2}\sigma }{4\pi \lambda ^{2}R^{4}}}\,$

Ensimmäinen muoto käyttää vastaanotinantennin vahvistusta, toinen sen tehollista sieppauspinta-alaa.

Edellä saadut tutkayhtälöt toimivat sekä pistemäisille, että pintakohteille.

Kuun tutkapinta-ala

Kun radioteho siroaa kuusta, sen aallonpituus on paljon alle kuun läpimitta (n. 3400 km), jolloin tehollinen sieppauspinta-ala on joko kuun fyysinen läpimitta, tai se alue mille radiotehoa lankeaa jos lähetin kykenee tuottamaan pienemmän keilan, kuin koko kuun kattavaa.

Kuun "radar cross section" on toisaalla annettu:

$\sigma ={\frac {d_{moon}^{2}}{16R_{t}^{2}}}\,$

Tuo juontuu radar cross section seikoista, jotka sanovat että kyllin suuri kappale ($d>\!\!>\lambda \,$ ja $range>\!\!>\!\!>\lambda \,$) käyttäytyy ikään kuin kyseessä olisi "optinen heijastuminen" ja silloin pallolle pätee: $\sigma =\pi r^{2}\,$ (Kriittinen raja on ilmeisesti noin $d>3\lambda \,$)

Samoin pätee: $\sigma =Projektoitu\_sieppauspinta\_ala*Suuntaavuus\,$ jossa suuntaavuus on isotrooppinen ja heijastavuus on kuulle noin 7%.

... miten RCS ja sigma muodostavat tuon yllä annetun yhtälön ?

---

Lisää vaikkapa:

• http://www.rfcafe.com/references/electrical/radar_eqn.htm