Tutkayhtälö

Tutkayhtälö:

$P_{radareq}[dB]=10\log _{10}\left({\frac {16s_{refl}^{2}}{d_{refl}^{2}}}\right)\,$

Tämä liittyy EME-matkavaimennus -matematiikkaan.

TODO: lähdeanalyysi, verifiointi.. Aikojen saatossa on näkynyt paljon kirjoissa olevia yhtälöitä joissa on Jotain Vialla

---

Tutkayhtälön muodostaminen

Tutkayhtälö kuvaa tutka-asetelman kolmen osan: lähettimen, kohteen sirontaparametrien ja vastaanottimen keskinäisiä signaalisuhteita.

Kun lähetetään teholla $P_{t}$ ja lähetinantennin vahvistuksella $G_{t}$ kohti kohdetta, saadaan sirontakohteella:

$S_{s}=\left(P_{t}G_{t}\right)\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)\,$

jossa $S_{s}$ on tehotiheys sirottavalla kohteella. Edellä $\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)\,$ on "matkavaimennus" (spreading loss).

Saadaksemme sirontakohteen sieppaaman kokonaistehon, kerromme sille lankeavan tehotiheyden ($S_{s}\,$) kohteen tehollisella sieppauspinta-alalla (tutkapinta-ala, englanniksi: radar cross-section, RCS) ($A_{rs}\,$):

$P_{rs}=A_{rs}*S_{s}\,$

Huomaa toki, että tämä tutkapinta-ala ei ole kohteen todellinen fyysinen pinta-ala (normaalissa tutkatilanteessa,) vaan sellainen ala, jolta saapuva teho poistuisi, jos voitaisiin olettaa kaiken muun tehon menevän kohteen ohi häviöttä. $A_{rs}\,$:n todellinen arvo riippuu sekä sirottajan tehokkuudesta, että vastaanotinantennista.

Osa sirontakohteeseen osuvasta energiasta absorboituu sinne, ellei kyseessä ole täydellinen johde tai eriste. Loppu säteilee uudelleen erilaisiin suuntiin. Kun absorboituva osa on: $(f_{a})\,$ silloin uudelleensäteillyt osa on: $(1-f_{a})\,$ ja kokonaisuudessaan uudelleensäteillyt teho on:

$P_{ts}=P_{rs}\left(1-f_{a}\right)\,$

Erilaiset kohteessa tapahtuvat johtuma- ja siirtymävirrat tuottavat radiotehon uudelleensäteilyä, jolla on oma suuntakuvionsa (kuten antenneilla). Huomaa myös, että sirottajan tehollinen sieppauspinta-ala riippuu radiotehon saapumissuunnasta, joten yllä oleva $A_{rs}\,$ pitää ymmärtää pätevän vain nimenomaisesta suunnasta tulevaan radiotehoon.

Uudelleensäteilyn suuntakuvio ei välttämättä ole sama, kuin $A_{rs}\,$:n sisääntuleva kuvio, lisäksi mahdollinen vahvistus vastaanottimen suuntaan merkitsee uudelleensäteilykuviolle ykkösestä poikkeavaa tekijää. Näin saamme:

$S_{r}=P_{ts}G_{ts}\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)$

missä $P_{ts}\,$ on uudelleensäteilty kokonaisteho, $G_{ts}\,$ on sironnan vahvistus vastaanottimen suuntaan ja ${\frac {1}{4\pi R^{2}}}\,$ on uudelleensäteilyn jälkeinen matkavaimennus.

Huomionarvoinen seikka tässä kommunikaatiolinkin ja tutkasironnan välillä on, että kommunikaatiolinkissä on vain yksi vapaan tilan vaimennustermi, kun tutkalla niitä on kaksi. Siispä jos $R_{r}=R_{t}\,$ ja siten kokonaismatka on $2R_{t}\,$, niin kommunikaatiolinkille tällaisella matkalla matkavaimennus on vain:

$1/4\left({\frac {1}{4\pi R^{2}}}\right)\,$

kun tutkalle se on:

$\left(1/4\pi \right)^{2}\left({\frac {1}{R_{t}}}\right)^{4}\,$

Siis kaikkiaan matkavaimennus on tutkalle paljon suurempi, kuin saman mittaiselle kommunikaatiolinkille.

Vastaanottimeen saapuva radioteho on:

$P_{r}=S_{r}A_{r}\,$

missä $A_{r}\,$ on vastaanotinantennin tehollinen pinta-ala, ei sen todellinen! $A_{r}\,$ ei riipu pelkästään suunnasta, vaan myös vastaanottimen antennille tarjoamasta kuormaimpedanssista. Esimerkiksi: $P_{r}\,$:n pitää olla nolla, jos kuorma on oikosulku tai avoin piiri.

Keräämällä yhteen kaikki viisi edellä olevaa yhtälöä, saamme:

$P_{r}$	$=\left(P_{t}G_{t}\right)\left({\frac {1}{4\pi R_{t}^{2}}}\right)A_{rs}\left(1-f_{a}\right)G_{ts}\left({\frac {1}{4\pi R_{r}^{2}}}\right)A_{r}$
	$=\left({\frac {P_{t}G_{t}A_{r}}{(4\pi )^{2}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}\right)\left[A_{rs}\left(1-f_{a}\right)G_{ts}\right]$

Sirontaan liittyvät tekijät on kerätty hakasulkeiden sisään. Näitä tekijöitä on vaikea mitata yksittäin ja loppupelissä niiden keskinäiset suuruudet ovat merkityksettömiä kun ollaan kiinnostuneita vastaanottimeen saatavasta tutkasignaalista. Niinpä ne tavallisesti yhdistetään yhdeksi termiksi: Tutkapinta-alaan (radar cross section):

$\sigma =A_{rs}\left(1-f_{a}\right)G_{ts}\,$

Tämä tutkapinta-ala ($\sigma \,$ = 'sigma') riippuu saapuvan radiotehon suunnasta, vastaanottimen suunnasta, sekä sirottavan kohteen muotosta ja dielektrisistä ominaisuuksista.

Antennin tehollinen sieppauspinta-ala suhtautuu sen vahvistukseen yhtälöllä:

$A={\frac {\lambda ^{2}G}{4\pi }}\,$

("given" - johtoa ei nyt esitetä)

Lähetin ja vastaanotin erillään

Kun sirontaparametrit korvataan tutkapoikkipinta-alalla, saadaan yleinen bistaattisen tutkan yhtälö:

$P_{r}={\frac {P_{t}G_{t}A_{r}}{(4\pi )^{2}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}\sigma ={\frac {P_{t}G_{t}\lambda ^{2}G_{r}}{(4\pi )^{3}R_{t}^{2}R_{r}^{2}}}\sigma \,$

Ensimmäinen muoto käyttää antennin vahvistusta, toinen sen tehollista sieppauspinta-alaa.

Lähetin ja vastaanotin yhdessä

Yleisimmässä käyttötapauksessa lähetin ja vastaanotin ovat samassa paikassa, joten lähettimen ja vastaanottimen etäisyydet ovat samat. Melkein yhtä yleistä on, että samaa antennia käytetään sekä lähettämiseen, että vastaanottamiseen:

$R_{t}\,$	$=\,$	$R_{r}\,$	$=\,$	$R\,$
$G_{t}\,$	$=\,$	$G_{r}\,$	$=\,$	$G\,$
$A_{t}\,$	$=\,$	$A_{r}\,$	$=\,$	$A\,$

Voimme kirjoittaa lopullisen tutkayhtälön (monostaattiselle tutkalle) muotoon:

$P_{r}={\frac {P_{t}G^{2}\lambda ^{2}\sigma }{(4\pi )^{3}R^{4}}}={\frac {P_{t}A^{2}\sigma }{4\pi \lambda ^{2}R^{4}}}\,$

Ensimmäinen muoto käyttää antennin vahvistusta, toinen sen tehollista sieppauspinta-alaa.

Edellä saadut tutkayhtälöt toimivat sekä pistemäisille, että pintakohteille.

Kuun tutkapinta-ala

Kun radioteho siroaa kuusta, sen aallonpituus on paljon alle kuun läpimitta (n. 3400 km), jolloin tehollinen sieppauspinta-ala on joko kuun fyysinen läpimitta, tai se alue mille radiotehoa lankeaa jos lähetin kykenee tuottamaan pienemmän keilan, kuin koko kuun kattavaa.

Kuun "radar cross section" on toisaalla annettu:

$\sigma ={\frac {16R_{t}^{2}}{d_{moon}^{2}}}*\eta _{moon}\,$

Tuo juontuu radar cross section seikoista, jotka sanovat että kyllin suuri kappale ($d>\!\!>10\lambda \,$) käyttäytyy ikään kuin kyseessä olisi "optinen heijastuminen" ja silloin pallolle pätee: $\sigma =\pi r^{2}\,$

Samoin pätee: $\sigma =Projektoitu\_sieppauspinta\_ala*Heijastavuus*Suuntaavuus\,$ jossa suuntaavuus on isotrooppinen ja heijastavuus on kuulle noin 7%.

... miten RCS ja sigma muodostavat tuon yllä annetun yhtälön ?