Putken taivutus (lujuusoppi)

Putken taivutus

Pyöreän putken taivutuksen matematiikka:

• $Q$: Leikkausvoima - tukipisteen suhteen sivuttain leikkaava voima (Newtonia)
• $M$: Taivutusmomentti - tukipisteen keskeisestä kaartaen taivuttava voima (Newtonia)
• $I$: Jäyhyysmomentti
• $S$: Staattinen momentti
• $r_{1}$: Putken sisäsäde (tai = 0 jos umpiputki)
• $r_{2}$: Putken ulkosäde
• $\tau _{max}$: Leikkausjännitys

Putken muodosta riippuva jäyhyysmomentti:

$I={\frac {\pi }{4}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)$

Staattinen momentti:

$S={\frac {2}{3}}\left(r_{2}^{3}-r_{1}^{3}\right)$

Poikkipinta-ala:

$A=\pi \left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)$

Nyt saadaan maksimaalinen leikkausjännitys kaavalla:

$\tau _{max}={\frac {4Q}{3A}}\cdot {\frac {r_{2}^{2}+r_{2}r_{1}+r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}}$

Tämän jännityksen arvo ei saisi olla suurempi kuin alin myötöraja ($\sigma _{sa}$) jotta putki ei ala muuttaa muotoaan pysyvästi.

Käyttöesimerkki

Vertaillaan kahden eri läpimittaisen putken vääntöjäykkyyksiä.

Case a: 30 mm ulkoläpimitta ja 3mm seinämävahvuus

• $r_{2}a=0.015m$
• $r_{1}a=0.012m$

Tästä saadaan:

• $\tau _{max-a}=7796Q$ (Pascalia)

Case b:

• $r_{2}b=0.015m$
• $r_{1}b=0.012m$

Tästä saadaan:

• $\tau _{max-b}=3716Q$ (Pascalia)

Täsmälliset arvot eivät niinkään kiinnosta, mutta niiden suhde kiinnostaa. Putken läpimitan tuplaaminen puolittaa leikkausjännityksen seinämävahvuuden ollessa suunnilleen sama.