Putken taivutus (lujuusoppi)

Putken taivutus

Pyöreän putken taivutuksen matematiikka:

• $Q$: Leikkausvoima - tukipisteen suhteen sivuttain leikkaava voima (Newtonia)
• $M$: Taivutusmomentti - tukipisteen keskeisestä kaartaen taivuttava voima (Newtonia)
• $I$: Jäyhyysmomentti
• $S$: Staattinen momentti
• $r_1$: Putken sisäsäde (tai = 0 jos umpiputki)
• $r_2$: Putken ulkosäde
• ${\tau }_{max}$: Leikkausjännitys

Putken muodosta riippuva jäyhyysmomentti:

$I=\frac{\pi }{4}(r_2^4-r_1^4)$

Staattinen momentti:

$S=\frac{2}{3}(r_2^3-r_1^3)$

Poikkipinta-ala:

$A=\pi (r_2^2-r_1^2)$

Nyt saadaan maksimaalinen leikkausjännitys kaavalla:

${\tau }_{max}=\frac{4Q}{3A}\cdot \frac{r_2^2+r_2{r}_1+r_1^2}{r_2^2+r_1^2}$

Tämän jännityksen arvo ei saisi olla suurempi kuin alin myötöraja (${\sigma }_{sa}$) jotta putki ei ala muuttaa muotoaan pysyvästi.

Käyttöesimerkki

Vertaillaan kahden eri läpimittaisen putken vääntöjäykkyyksiä.

Case a: 30 mm ulkoläpimitta ja 3mm seinämävahvuus

• $r_{2}a=0.015m$
• $r_{1}a=0.012m$

Tästä saadaan:

• ${\tau }_{max-a}=7796Q$ (Pascalia)

Case b:

• $r_{2}b=0.015m$
• $r_{1}b=0.012m$

Tästä saadaan:

• ${\tau }_{max-b}=3716Q$ (Pascalia)

Täsmälliset arvot eivät niinkään kiinnosta, mutta niiden suhde kiinnostaa. Putken läpimitan tuplaaminen puolittaa leikkausjännityksen seinämävahvuuden ollessa suunnilleen sama.