Poynting-teoreema

Poynting-teoreema on Maxwellin yhtälöiden erityisratkaisu kysymykseen:

Millä nopeudella sähkömagneettinen energia kulkee vapaan avaruuden tai minkään muun väliaineen läpi, varastoituu sähkö- ja magneettikenttiin tai muuttuu lämmöksi?

(Edellä "nopeus" ei tarkoita signaalin nopeutta, vaan erityisesti steady-state tilanteen suhteita millä energia muuttuu muodosta toiseen.)

Poyntingin vektori on sähkö- ja magneettikenttien ristitulo ja kertoo, että minne suuntaan sähkömagneettinen energia etenee:

$\mathbf {P} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} \,$

(eq.1)

Kompleksisten kenttävektorien kompleksisten tehotermien näkökulmasta, kahden kompleksisen vektorin aikakeskiarvo on yhtäsuuri kuin kompleksinen vektori kerrottuna toisen vektorin kompleksikonjugaatilla. Näin hetkellisen Poyntingin vektorin vakaan tilan aikakeskiarvoksi muodostuu:

$\left\langle P\right\rangle =\left\langle \mathbf {E} \times \mathbf {H} \right\rangle ={\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H*} \right)\,$

(eq.2)

missä $\left\langle \quad \right\rangle \,$-merkintä tarkoittaa keskiarvoa ja kerroin ½ esiintyy kompeksitehon yhtälöissä, kun huippuarvoja käytetään kompeksisten E ja H suureiden kanssa. "Re" tarkoittaa reaaliosaa kompleksisesta tehosta ja tähti tarkoittaa kompleksikonjugaattia.

Näin ollen on tarve määritellä kompleksinen Poyntingin vektori näin:

$\mathbf {P} ={\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {H*} \right)\,$

(eq.3)

Maxwellin yhtälöt taajuusdomainissa sähkö- ja magneettikentille ovat:

$\nabla \times \mathbf {E} =\,$	$-j\omega \mu \mathbf {H} \,$	(eq.4-E)
$\nabla \times \mathbf {H} =\,$	$\mathbf {J} +j\omega \epsilon \mathbf {E} \,$	(eq.4-H)

Yhtälön (eq.4-E) ja H*, sekä yhtälön (eq.4-H) ja E väliset pistetulot tuottavat:

$\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)\bullet \mathbf {H*} =\,$	$-j\omega \mu \mathbf {H} \bullet \mathbf {H*} \,$	(eq.5-E)
$\left(\nabla \times \mathbf {H*} \right)\bullet \mathbf {E} =\,$	$\left(\mathbf {J*} -j\omega \epsilon \mathbf {E*} \right)\bullet \mathbf {E} \,$	(eq.5-H)

Sitten vähentämällä yhtälö (eq.5-E) yhtälöstä (eq.5-H) ja korvaamalla pistetulo E·E* |E|²:lla ja H·H* |H|²:lla:

$\mathbf {E} \bullet \left(\nabla \times \mathbf {H*} \right)-\mathbf {H*} \bullet \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\mathbf {E} \bullet \mathbf {J*} -j\omega \left(\epsilon \left|E\right|^{2}-\mu \left|H\right|^{2}\right)$

(eq.6)

Vektori-identiteetin perusteella yhtälön (eq.6) vasen puoli on yhtä kuin: $-\nabla \bullet \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H*} \right)$, jolloin saamme:

$\nabla \bullet \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H*} \right)=-\mathbf {E} \bullet \mathbf {J*} +j\omega \left(\epsilon \left|E\right|^{2}-\mu \left|H\right|^{2}\right)$

(eq.7)

Sijoittamalla virtatiheyden komponenttiyhtälö $\mathbf {J} =\mathbf {J} _{c}+\mathbf {J} _{0}$ ja kompleksinen Poyntingin vektoriyhtälö (eq.3) yhtälöön (eq.7), saamme:

$-{\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}\mathbf {E} \bullet \mathbf {J} _{0}^{*}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\sigma \mathbf {E} \bullet \mathbf {E*} +j\omega {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(\mu \mathbf {H} \bullet \mathbf {H*} -\epsilon \mathbf {E} \bullet \mathbf {E*} \right)+\nabla \bullet \mathbf {P}$

(eq.8)

Integroimalla yhtälö (eq.8) yli tilavuuden ja soveltamalla Gaussin teoreemaa viimeiseen oikean puolen termiin, saamme:

$-\int _{v}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(\mathbf {E} \bullet \mathbf {J} _{0}^{*}\right)dv=\int _{v}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\sigma \left|E\right|^{2}dv+j2\omega \int _{v}\left(w_{m}-w_{e}\right)dv+\oint _{s}\mathbf {P} \bullet d\mathbf {s}$

(eq.9)

missä:

• ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\sigma \left|E\right|^{2}=\sigma \left\langle \left|E\right|^{2}\right\rangle$ on säteiltävän tehon aikakeskiarvo
• ${\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\mu \mathbf {H} \bullet \mathbf {H*} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\mu \left\langle \left|H\right|^{2}\right\rangle =w_{m}$ on magneettikenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
• ${\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\epsilon \mathbf {E} \bullet \mathbf {E*} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\epsilon \left\langle \left|E\right|^{2}\right\rangle =w_{e}$ on sähkökenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
• $-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\mathbf {E} \bullet \mathbf {J} _{0}^{*}=$kompleksinen teho, jonka lähde J₀ aikaansaa kentässä

Yhtälö (eq.9) tunnetaan yleisesti kompleksisena Poyntingin teoreemana tai Poyntingin teoreemana taajuusdomainissa.

Asetettakoot:

$P_{in}=-\int _{v}{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(\mathbf {E} \bullet \mathbf {J} _{0}^{*}\right)dv$

lähteen alueeseen syöttämä kompleksinen teho

$\left\langle P_{\mathrm {d} }\right\rangle =\int _{v}{\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}\sigma \left|E\right|^{2}dv$

aikakeskiarvo alueen sisällä lämmöksi muuttuneesta tehosta

$\left\langle W_{m}-W_{e}\right\rangle =\int _{v}\left(w_{m}-m_{e}\right)dv$

alueeseen varastoituneen magneettisen ja sähköisen energian aikakeskiarvojen ero

$P_{tr}=\oint \mathbf {P} \bullet d\mathbf {s}$

alueelta ulos säteillyt kompleksinen teho

Yhtälön (eq.9) esittämä kompleksinen Poyntingin teoreema voidaan yksinkertaistaa muotoon:

$P_{in}=\left\langle P_{d}\right\rangle +j2\omega \left(\left\langle W_{m}-W_{e}\right\rangle \right)+P_{tr}$

(eq.10)

Tämä teoreema lausuu, että: tilavuuteen syötetty kompleksinen kokonaisteho on yhtä suuri kuin algebraalinen summa lämpönä poistuneesta aktiivisesta tehosta, plus tilavuuden reaktiivinen teho (sähkö- ja magneettikenttiin varastoituneen energian erot), plus kompleksinen teho joka poistuu tilavuutta rajoittavan pinnan kautta ulos.