Ero sivun ”Poynting-teoreema” versioiden välillä
>Oh2mqk p (typoja, pilkunviilausta) |
p (Oh6va siirsi sivun Poynting teoreema uudelle nimelle Poynting-teoreema luomatta ohjausta: oikeinkirjoitus) |
||
(3 välissä olevaa versiota 2 käyttäjän tekeminä ei näytetä) | |||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
[[ | '''Poynting-teoreema''' on [[Maxwellin yhtälöt|Maxwellin yhtälöiden]] erityisratkaisu kysymykseen: | ||
<blockquote>''Millä nopeudella sähkömagneettinen energia kulkee vapaan avaruuden tai minkään muun väliaineen läpi, varastoituu sähkö- ja magneettikenttiin tai muuttuu lämmöksi?''</blockquote> | |||
(Edellä "nopeus" ei tarkoita signaalin nopeutta, vaan erityisesti steady-state tilanteen suhteita millä energia muuttuu muodosta toiseen.) | |||
''Poyntingin vektori'' on sähkö- ja magneettikenttien ristitulo ja kertoo, että minne suuntaan sähkömagneettinen energia etenee: | |||
<blockquote> | |||
< | {| style="width:100%" | ||
|- | |||
|<math>\mathbf{P} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}\,</math> | |||
|align=right style="width:100%"|(eq.1) | |||
|- | |||
|} | |||
</blockquote> | |||
Kompleksisten kenttävektorien kompleksisten tehotermien näkökulmasta, | Kompleksisten kenttävektorien kompleksisten tehotermien näkökulmasta, | ||
kahden kompleksisen vektorin aikakeskiarvo on yhtäsuuri kuin | kahden kompleksisen vektorin aikakeskiarvo on yhtäsuuri kuin | ||
kompleksinen vektori kerrottuna toisen vektorin kompleksikonjugaatilla. | kompleksinen vektori kerrottuna toisen vektorin kompleksikonjugaatilla. | ||
Näin hetkellisen '' | Näin hetkellisen ''Poyntingin vektorin'' vakaan tilan aikakeskiarvoksi | ||
muodostuu: | muodostuu: | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
Rivi 19: | Rivi 23: | ||
|<math>\left\langle P\right\rangle | |<math>\left\langle P\right\rangle | ||
= \left\langle\mathbf{E}\times\mathbf{H}\right\rangle | = \left\langle\mathbf{E}\times\mathbf{H}\right\rangle | ||
= {1\over2}\mathrm{Re} | = \begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}\mathrm{Re} | ||
\left(\mathbf{E}\times\mathbf{H*}\right)\,</math> | \left(\mathbf{E}\times\mathbf{H*}\right)\,</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.2) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
Rivi 34: | Rivi 38: | ||
{| style="width:100%" | {| style="width:100%" | ||
|- | |- | ||
|<math>\mathbf{P} = \ | |<math>\mathbf{P} = \begin{matrix}{1\over2}\end{matrix} | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | \left(\mathbf{E}\times\mathbf{H*}\right)\,</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq.3) | |||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Maxwellin yhtälöt taajuusdomainissa sähkö- ja magneettikentille ovat: | Maxwellin yhtälöt taajuusdomainissa sähkö- ja magneettikentille ovat: | ||
Rivi 47: | Rivi 51: | ||
|align=right|<math>\nabla\times\mathbf{E}=\,</math> | |align=right|<math>\nabla\times\mathbf{E}=\,</math> | ||
|<math>-j\omega\mu\mathbf{H}\,</math> | |<math>-j\omega\mu\mathbf{H}\,</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.4-E) | ||
|- | |- | ||
|align=right|<math>\nabla\times\mathbf{H}=\,</math> | |align=right|<math>\nabla\times\mathbf{H}=\,</math> | ||
|<math>\mathbf{J}+j\omega\epsilon\mathbf{E}\,</math> | |<math>\mathbf{J}+j\omega\epsilon\mathbf{E}\,</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.4-H) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Yhtälön (eq. | Yhtälön (eq.4-E) ja '''H*''', sekä yhtälön (eq.4-H) ja '''E''' väliset pistetulot tuottavat: | ||
pistetulot tuottavat: | |||
<blockquote> | <blockquote> | ||
{| style="width:100%" | {| style="width:100%" | ||
Rivi 64: | Rivi 67: | ||
\bullet\mathbf{H*}=\,</math> | \bullet\mathbf{H*}=\,</math> | ||
|<math>-j\omega\mu\mathbf{H}\bullet\mathbf{H*}\,</math> | |<math>-j\omega\mu\mathbf{H}\bullet\mathbf{H*}\,</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.5-E) | ||
|- | |- | ||
|align=right|<math>\left(\nabla\times\mathbf{H*}\right) | |align=right|<math>\left(\nabla\times\mathbf{H*}\right) | ||
Rivi 70: | Rivi 73: | ||
|<math>\left(\mathbf{J*}-j\omega\epsilon\mathbf{E*}\right) | |<math>\left(\mathbf{J*}-j\omega\epsilon\mathbf{E*}\right) | ||
\bullet\mathbf{E}\,</math> | \bullet\mathbf{E}\,</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.5-H) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Sitten vähentämällä yhtälö (eq. | Sitten vähentämällä yhtälö (eq.5-E) yhtälöstä (eq.5-H) ja korvaamalla | ||
pistetulo '''E·E*''' |''E''|²:lla ja '''H·H*''' |''H''|²:lla: | pistetulo '''E·E*''' |''E''|²:lla ja '''H·H*''' |''H''|²:lla: | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
Rivi 85: | Rivi 88: | ||
- j\omega\left(\epsilon\left|E\right|^2 - | - j\omega\left(\epsilon\left|E\right|^2 - | ||
\mu\left|H\right|^2\right)</math> | \mu\left|H\right|^2\right)</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.6) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Vektori-identiteetin perusteella yhtälön (eq. | Vektori-identiteetin perusteella yhtälön (eq.6) vasen puoli on yhtä kuin: <math>-\nabla\bullet\left(\mathbf{E}\times\mathbf{H*}\right)</math>, jolloin saamme: | ||
jolloin saamme: | |||
<blockquote> | <blockquote> | ||
{| style="width:100%" | {| style="width:100%" | ||
Rivi 100: | Rivi 101: | ||
+ j\omega\left(\epsilon\left|E\right|^2 - | + j\omega\left(\epsilon\left|E\right|^2 - | ||
\mu\left|H\right|^2\right)</math> | \mu\left|H\right|^2\right)</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.7) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
Rivi 107: | Rivi 108: | ||
Sijoittamalla virtatiheyden komponenttiyhtälö | Sijoittamalla virtatiheyden komponenttiyhtälö | ||
<math>\mathbf{J}=\mathbf{J}_c+\mathbf{J}_0</math> ja | <math>\mathbf{J}=\mathbf{J}_c+\mathbf{J}_0</math> ja | ||
kompleksinen ''Poyntingin vektoriyhtälö'' (eq. | kompleksinen ''Poyntingin vektoriyhtälö'' (eq.3) yhtälöön (eq.7), saamme: | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
{| style="width:100%" | {| style="width:100%" | ||
|- | |- | ||
|<math>-\ | |<math>-\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}\mathbf{E}\bullet\mathbf{J}_0^* | ||
= \frac{1}{2}\sigma\mathbf{E}\bullet\mathbf{E*} | = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | ||
+ j\omega\frac{1}{2}\left(\mu\mathbf{H}\bullet\mathbf{H*} | \sigma\mathbf{E}\bullet\mathbf{E*} | ||
+ j\omega\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | |||
\left(\mu\mathbf{H}\bullet\mathbf{H*} | |||
-\epsilon\mathbf{E}\bullet\mathbf{E*}\right) | |||
+ \nabla\bullet\mathbf{P}</math> | + \nabla\bullet\mathbf{P}</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.8) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Integroimalla yhtälö (eq. | Integroimalla yhtälö (eq.8) yli tilavuuden ja soveltamalla ''Gaussin teoreemaa'' viimeiseen oikean puolen termiin, saamme: | ||
viimeiseen oikean puolen termiin, saamme: | |||
<blockquote> | <blockquote> | ||
{| style="width:100%" | {| style="width:100%" | ||
|- | |- | ||
|<math>-\int_v\frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\bullet\mathbf{J}_0^*\right)dv | |<math>-\int_v\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | ||
= \int_v\frac{1}{2}\sigma\left|E\right|^2dv | \left(\mathbf{E}\bullet\mathbf{J}_0^*\right)dv | ||
= \int_v\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}\sigma\left|E\right|^2dv | |||
+ j2\omega\int_v\left(w_m-w_e\right)dv | + j2\omega\int_v\left(w_m-w_e\right)dv | ||
+ \oint_s\mathbf{P}\bullet d\mathbf{s}</math> | + \oint_s\mathbf{P}\bullet d\mathbf{s}</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.9) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
missä: | missä: | ||
* <math>\frac{1}{2}\sigma\left|E\right|^2 | * <math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}\sigma\left|E\right|^2 | ||
= \sigma\left\langle\left|E\right|^2\right\rangle | = \sigma\left\langle\left|E\right|^2\right\rangle | ||
</math> on säteiltävän tehon aikakeskiarvo | </math> on säteiltävän tehon aikakeskiarvo | ||
* <math>\frac{1}{4}\mu\mathbf{H}\bullet\mathbf{H*} | * <math>\begin{matrix}\frac{1}{4}\end{matrix} | ||
\mu\mathbf{H}\bullet\mathbf{H*} | |||
= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | |||
\mu\left\langle\left|H\right|^2\right\rangle = w_m | |||
</math> on magneettikenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo | </math> on magneettikenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo | ||
* <math>\frac{1}{4}\epsilon\mathbf{E}\bullet\mathbf{E*} | * <math>\begin{matrix}\frac{1}{4}\end{matrix} | ||
\epsilon\mathbf{E}\bullet\mathbf{E*} | |||
= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | |||
\epsilon\left\langle\left|E\right|^2\right\rangle=w_e | |||
</math> on sähkökenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo | </math> on sähkökenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo | ||
* <math>-\frac{1}{2}\mathbf{E}\bullet\mathbf{J}^*_0= | * <math>-\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | ||
\mathbf{E}\bullet\mathbf{J}^*_0= | |||
</math>kompleksinen teho, jonka lähde '''J'''<sub>0</sub> aikaansaa kentässä | </math>kompleksinen teho, jonka lähde '''J'''<sub>0</sub> aikaansaa kentässä | ||
Yhtälö (eq. | Yhtälö (eq.9) tunnetaan yleisesti ''kompleksisena Poyntingin teoreemana'' tai | ||
''Poyntingin teoreemana'' taajuusdomainissa. | ''Poyntingin teoreemana'' taajuusdomainissa. | ||
Asetettakoot: | Asetettakoot: | ||
<DL> | <DL> | ||
<DT><math>P_{in}=-\int_v\frac{1}{2}\left(\mathbf{E}\bullet | <DT><math>P_{in}=-\int_v\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} | ||
\left(\mathbf{E}\bullet\mathbf{J}_0^*\right)dv</math></DT> | |||
<DD> | <DD>lähteen alueeseen syöttämä kompleksinen teho</DD> | ||
lähteen alueeseen syöttämä kompleksinen teho | |||
</DD> | |||
<DT><math>\left\langle P_\mathrm{d}\right\rangle | <DT><math>\left\langle P_\mathrm{d}\right\rangle | ||
= \int_v{1\over2}\sigma\left|E\right|^2dv</math></DT> | = \int_v\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix} | ||
\sigma\left|E\right|^2dv</math></DT> | |||
<DD>aikakeskiarvo alueen sisällä lämmöksi muuttuneesta tehosta</DD> | <DD>aikakeskiarvo alueen sisällä lämmöksi muuttuneesta tehosta</DD> | ||
<DT><math>\left\langle W_m-W_e\right\rangle | <DT><math>\left\langle W_m-W_e\right\rangle | ||
Rivi 168: | Rivi 175: | ||
<DL> | <DL> | ||
Yhtälön (eq. | Yhtälön (eq.9) esittämä kompleksinen Poyntingin teoreema voidaan yksinkertaistaa | ||
muotoon: | muotoon: | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
Rivi 176: | Rivi 183: | ||
+ j2\omega\left(\left\langle W_m-W_e\right\rangle\right) | + j2\omega\left(\left\langle W_m-W_e\right\rangle\right) | ||
+ P_{tr}</math> | + P_{tr}</math> | ||
|align=right style="width:100%"|(eq. | |align=right style="width:100%"|(eq.10) | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
Tämä teoreema lausuu, että: tilavuuteen syötetty kompleksinen kokonaisteho | Tämä teoreema lausuu, että: ''tilavuuteen syötetty kompleksinen kokonaisteho on yhtä suuri kuin algebraalinen summa lämpönä poistuneesta aktiivisesta tehosta, plus tilavuuden reaktiivinen teho (sähkö- ja magneettikenttiin varastoituneen energian erot), plus kompleksinen teho joka poistuu tilavuutta rajoittavan pinnan kautta ulos.'' | ||
on yhtä suuri kuin algebraalinen summa lämpönä poistuneesta aktiivisesta | |||
tehosta, plus tilavuuden reaktiivinen teho (sähkö- ja magneettikenttiin | [[Luokka:Teoria]] | ||
varastoituneen energian erot), plus kompleksinen teho joka poistuu | |||
tilavuutta rajoittavan pinnan kautta ulos. |
Nykyinen versio 11. kesäkuuta 2021 kello 02.44
Poynting-teoreema on Maxwellin yhtälöiden erityisratkaisu kysymykseen:
Millä nopeudella sähkömagneettinen energia kulkee vapaan avaruuden tai minkään muun väliaineen läpi, varastoituu sähkö- ja magneettikenttiin tai muuttuu lämmöksi?
(Edellä "nopeus" ei tarkoita signaalin nopeutta, vaan erityisesti steady-state tilanteen suhteita millä energia muuttuu muodosta toiseen.)
Poyntingin vektori on sähkö- ja magneettikenttien ristitulo ja kertoo, että minne suuntaan sähkömagneettinen energia etenee:
(eq.1)
Kompleksisten kenttävektorien kompleksisten tehotermien näkökulmasta, kahden kompleksisen vektorin aikakeskiarvo on yhtäsuuri kuin kompleksinen vektori kerrottuna toisen vektorin kompleksikonjugaatilla. Näin hetkellisen Poyntingin vektorin vakaan tilan aikakeskiarvoksi muodostuu:
(eq.2)
missä -merkintä tarkoittaa keskiarvoa ja kerroin ½ esiintyy kompeksitehon yhtälöissä, kun huippuarvoja käytetään kompeksisten E ja H suureiden kanssa. "Re" tarkoittaa reaaliosaa kompleksisesta tehosta ja tähti tarkoittaa kompleksikonjugaattia.
Näin ollen on tarve määritellä kompleksinen Poyntingin vektori näin:
(eq.3)
Maxwellin yhtälöt taajuusdomainissa sähkö- ja magneettikentille ovat:
(eq.4-E) (eq.4-H)
Yhtälön (eq.4-E) ja H*, sekä yhtälön (eq.4-H) ja E väliset pistetulot tuottavat:
(eq.5-E) (eq.5-H)
Sitten vähentämällä yhtälö (eq.5-E) yhtälöstä (eq.5-H) ja korvaamalla pistetulo E·E* |E|²:lla ja H·H* |H|²:lla:
(eq.6)
Vektori-identiteetin perusteella yhtälön (eq.6) vasen puoli on yhtä kuin: , jolloin saamme:
(eq.7)
Sijoittamalla virtatiheyden komponenttiyhtälö ja kompleksinen Poyntingin vektoriyhtälö (eq.3) yhtälöön (eq.7), saamme:
(eq.8)
Integroimalla yhtälö (eq.8) yli tilavuuden ja soveltamalla Gaussin teoreemaa viimeiseen oikean puolen termiin, saamme:
(eq.9)
missä:
- on säteiltävän tehon aikakeskiarvo
- on magneettikenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
- on sähkökenttään varastoituneen energian aikakeskiarvo
- kompleksinen teho, jonka lähde J0 aikaansaa kentässä
Yhtälö (eq.9) tunnetaan yleisesti kompleksisena Poyntingin teoreemana tai Poyntingin teoreemana taajuusdomainissa.
Asetettakoot:
- lähteen alueeseen syöttämä kompleksinen teho
- aikakeskiarvo alueen sisällä lämmöksi muuttuneesta tehosta
- alueeseen varastoituneen magneettisen ja sähköisen energian aikakeskiarvojen ero
- alueelta ulos säteillyt kompleksinen teho
-
Yhtälön (eq.9) esittämä kompleksinen Poyntingin teoreema voidaan yksinkertaistaa
muotoon:
(eq.10)
Tämä teoreema lausuu, että: tilavuuteen syötetty kompleksinen kokonaisteho on yhtä suuri kuin algebraalinen summa lämpönä poistuneesta aktiivisesta tehosta, plus tilavuuden reaktiivinen teho (sähkö- ja magneettikenttiin varastoituneen energian erot), plus kompleksinen teho joka poistuu tilavuutta rajoittavan pinnan kautta ulos.