Hilbert-muunnos

Signaalin $x(t)$ Hilbert-muunnos ${\hat {x}}(t)$ on

${\hat {x}}(t)={\mathcal {H}}[x(t)]={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(s)}{t-s}}ds\,$

ja käänteismuutos

$x(t)={\mathcal {H}}^{-1}[{\hat {x}}(t)]={\frac {-1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\hat {x}}(s)}{t-s}}ds\,$.

Hilbert-muunnoksen siirtofunktio on

${\hat {X}}(f)=-j\cdot sgn(f)\cdot X(f)\,$,

jossa

$sgn(f)={\begin{cases}-1,&f<0\\1,&f>0\end{cases}}\,$

Hilbert-muunnoksen ominaisuuksia:

1. Sama amplitudispektri
2. Sama autokorrelaatiofunktio
3. Signaali $x(t)$ ja sen Hilbert-muunnos ${\hat {x}}(t)$ ovat ortogonaalisia
4. ${\hat {x}}(t)$:n Hilbert-muunnos on $-x(t)$