Hilbert-muunnos

Hilbert-muunnos

Signaalin $x(t)$ Hilbert-muunnos $\hat{x}(t)$ on

$\hat{x}(t)=\mathscr{H}[x(t)]=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x(s)}{t-s}ds$

ja sen käänteismuutos

$x(t)={\mathscr{H}}^{-1}[\hat{x}(t)]=\frac{-1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\hat{x}(s)}{t-s}ds$.

Hilbert-muunnoksen siirtofunktio on

$\hat{X}(f)=-j\cdot sgn(f)\cdot X(f)$,

jossa

$sgn(f)=\{\begin{array}{cc}-1,& f<0\\ 1,& f>0\end{array}$

Hilbert-muunnoksen ominaisuuksia:

1. Sama amplitudispektri
2. Sama autokorrelaatiofunktio
3. Signaali $x(t)$ ja sen Hilbert-muunnos $\hat{x}(t)$ ovat ortogonaalisia
4. $\hat{x}(t)$:n Hilbert-muunnos on $-x(t)$

Signaalikäsittelyllisessä matematiikassa tavallisimmat tarvittavat muunnokset ovat:

$x(t)$	$\hat{x}(t)$
$+\cos (t)$	$+\sin (t)$
$+\sin (t)$	$-\cos (t)$
$-\cos (t)$	$-\sin (t)$
$-\sin (t)$	$+\cos (t)$

Muunnoksen realisointi DSP:llä

Tämä Hilbert-muunnos on tehtävissä myös DSP:llä niin, että puheen basebandista tehdään laskemalla I ja Q jotka sitten ajetaan kvadratudimodulaattoriin.

DSP:llä voidaan tehdä FIR-suodin, jonka impulssivaste on antisymmetrinen, eli $h(0)=-h(L-1),h(1)=-h(L-2),\mathrm{...}$ jonka vaihevaste on lineaarinen, mutta samalla täsmälleen 90° erossa symmetrisestä FIR-suotimesta.

Koska L asteen mittaisessa FIR:issä menee aikaa L/2 askeleen verran, ohjelmaimplementaation pitää tyypillisesti sisällytää L/2 asteinen viivelinja I-kanavaan odottaakseen Q-kanavaa.