Hilbert-muunnos

Hilbert-muunnos

Signaalin $x(t)$ Hilbert-muunnos ${\hat {x}}(t)$ on

${\hat {x}}(t)={\mathcal {H}}[x(t)]={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(s)}{t-s}}ds\,$

ja sen käänteismuutos

$x(t)={\mathcal {H}}^{-1}[{\hat {x}}(t)]={\frac {-1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\hat {x}}(s)}{t-s}}ds\,$.

Hilbert-muunnoksen siirtofunktio on

${\hat {X}}(f)=-j\cdot sgn(f)\cdot X(f)\,$,

jossa

$sgn(f)={\begin{cases}-1,&f<0\\1,&f>0\end{cases}}\,$

Hilbert-muunnoksen ominaisuuksia:

1. Sama amplitudispektri
2. Sama autokorrelaatiofunktio
3. Signaali $x(t)$ ja sen Hilbert-muunnos ${\hat {x}}(t)$ ovat ortogonaalisia
4. ${\hat {x}}(t)$:n Hilbert-muunnos on $-x(t)$

Signaalikäsittelyllisessä matematiikassa tavallisimmat tarvittavat muunnokset ovat:

$x(t)\,$	${\hat {x}}(t)\,$
$+\cos(t)\,$	$+\sin(t)\,$
$+\sin(t)\,$	$-\cos(t)\,$
$-\cos(t)\,$	$-\sin(t)\,$
$-\sin(t)\,$	$+\cos(t)\,$

Muunnoksen realisointi DSP:llä

Tämä Hilbert-muunnos on tehtävissä myös DSP:llä niin, että puheen basebandista tehdään laskemalla I ja Q jotka sitten ajetaan kvadratudimodulaattoriin.

DSP:llä voidaan tehdä FIR-suodin, jonka impulssivaste on antisymmetrinen, eli $h(0)=-h(L-1),h(1)=-h(L-2),...$ jonka vaihevaste on lineaarinen, mutta samalla täsmälleen 90° erossa symmetrisestä FIR-suotimesta.

Koska L asteen mittaisessa FIR:issä menee aikaa L/2 askeleen verran, ohjelmaimplementaation pitää tyypillisesti sisällytää L/2 asteinen viivelinja I-kanavaan odottaakseen Q-kanavaa.