Lähdekoodi sivulle Hilbert-muunnos

<div class="floatright">__TOC__</div>
== Hilbert-muunnos ==
Signaalin <math>x(t)</math> '''Hilbert-muunnos''' <math>\hat{x}(t)</math> on
::<math>\hat{x}(t) = \mathcal{H}[x(t)] = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(s)}{t-s}ds\,</math>
ja sen käänteismuutos
::<math>x(t) = \mathcal{H}^{-1}[\hat{x}(t)] = \frac{-1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\hat{x}(s)}{t-s}ds\,</math>.

Hilbert-muunnoksen siirtofunktio on
::<math>\hat{X}(f) = -j \cdot sgn(f) \cdot X(f)\,</math>,
jossa
::<math>sgn(f) = \begin{cases}-1, & f< 0\\1, & f > 0\end{cases}\,</math>

Hilbert-muunnoksen ominaisuuksia:
# Sama amplitudispektri
# Sama autokorrelaatiofunktio
# Signaali <math>x(t)</math> ja sen Hilbert-muunnos <math>\hat{x}(t)</math> ovat ortogonaalisia
# <math>\hat{x}(t)</math>:n Hilbert-muunnos on <math>-x(t)</math>

Signaalikäsittelyllisessä matematiikassa tavallisimmat tarvittavat muunnokset ovat:
{|FRAME=1
|-
!align=right| <math>x(t)\,</math>
!align=right| <math>\hat{x}(t)\,</math>
|-
|align=right| <math>+\cos(t)\,</math>
|align=right| <math>+\sin(t)\,</math>
|-
|align=right| <math>+\sin(t)\,</math>
|align=right| <math>-\cos(t)\,</math>
|-
|align=right| <math>-\cos(t)\,</math>
|align=right| <math>-\sin(t)\,</math>
|-
|align=right| <math>-\sin(t)\,</math>
|align=right| <math>+\cos(t)\,</math>
|-

|}

== Muunnoksen realisointi DSP:llä ==
Tämä [[Hilbert-muunnos]] on tehtävissä myös [[DSP]]:llä niin, että puheen basebandista tehdään laskemalla I ja Q jotka sitten ajetaan kvadratudimodulaattoriin.

DSP:llä voidaan tehdä [[FIR-suodin]], jonka impulssivaste on ''antisymmetrinen'', eli <math>h(0)=-h(L-1), h(1) = -h(L-2), ...</math> jonka vaihevaste on lineaarinen, mutta samalla täsmälleen 90&deg; erossa ''symmetrisestä'' FIR-suotimesta.
Koska ''L'' asteen mittaisessa FIR:issä menee aikaa ''L/2'' askeleen verran, ohjelmaimplementaation pitää tyypillisesti sisällytää L/2 asteinen viivelinja I-kanavaan odottaakseen Q-kanavaa.


[[Category:Teoria]] {{stub}}