Tämä artikkeli menee syvälle aaltoputkien matematiikassa.
Etenkin jos Maxwell ja osittaisdifferentiaalit ovat
ystäviäsi, astu rohkeasti eteenpäin.
Vaikka ne eivät oliskaan ystäviäsi, tästä pitäisi saada
pohjaymmärrystä siihen, miksi lopputuloksena olevat yhtälöt
ovat sellaisia kuin ovat.
Tiivistettyjä lopputuloksia esitetään "Teoria" nimisessä osassa
aaltoputki artikkelissa.
Englanninkielinen termi aaltoputkelle on: waveguide, koska
se ohjaa (guide) sähkömagneettista energiaa sisällään.
Yleistä
Sähkömagneettista tehoa voidaan siirtää ontossa johdeputkessa.
Kun sähkömagneettista kenttää rajoitetaan tällä tavalla, sen etenemistavat
poikkeavat vapaan avaruuden tilanteesta.
Johtavat seinämät sallivat sähkömagneettisen kentän olemassaolon vain kun
johteen pintaa pitkin ei ole sähkökenttää.
Aaltoputken ominaisuudet riippuvat täten sen muodosta ja koosta.
Erilaiset epäjatkuvuudet aaltoputkessa muuttavat sen siirtolinjaominaisuuksia
ja näitä ominaisuuksia voidaan käyttää tuottamaan induktiivista- tai
kapasitiivista reaktanssia.
Sähkö- ja magneettikenttien kuviot ovat erilaisia eri moodeissa ja
niille onkin kehitetty vakio nimistö sen mukaan, onko sähkökenttä (E)
vai magneettikenttä (M) nolla etenemissuuntaan (putken pituusakseli)
(T = Transversal = poikittainen) josta saadaan kolme
yhdistelmää: TE, TM, TEM.
Aaltoputkissa vain TE ja TM ovat mahdollisia.
Näihin lisätään suffiksit (TEmn, TMmn), jotka kertovat että montako kertaa
kyseinen kenttä muuttuu annetulla akselilla.
Merkintätapa on, että ensimmäinen numero (m) on suorakaideputken pidemmän
sivun (a) suuntaan olevien puoliaaltojen määrän ja toinen (n) on
lyhyemmän sivun (b).
Pyöreälle putkelle ensimmäinen numero (m) on putken sisäpinnan ympäri
olevien täysien sähkökentän aaltojen määrä (ei puoliaaltojen!) ja toinen
(n) on putken lävistäjän läpi olevien puoliaaltojen määrä.
Seuraavaksi kirjoitetaan Maxwellin yhtälöillä suorakulmaisen aaltoputken
sisäisten kenttien olemus ensin tavallisessa oikeakätisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa, jossa z on putken pituussuuntaan ja positiivinen
signaalin etenemissuuntaan.
Pyöreän aaltoputken tarpeisiin tehdään sama harjoitus polaarikoordinaatistolla,
jossa z on samoin kuin suorakulmaisella tapauksella.
Pyörittelemällä Maxwellin yhtälöitä ja kieltämällä tapaus: saadaan sitten...
Suorakaideaaltoputki
Suorakaideaaltoputki on ontto metalliputki, jonka poikkileikkaus
on suorakaide.
Putken johtavat seinät pitävät sähkömagneettisen kentän sisällään
ja näin ohjaavat niitä.
Useita erilaisia sähkömagneettisten kenttien konfiguraatioita ('moodeja')
voi samanaikaisesti olla olemassa aaltoputkessa.
Kun sähkömagneettisen kentän "aallot" kulkevat pitkin johdetta (putkea),
ne heijastelevat edestakaisin seinien välillä.
Tästä seuraa, että joko sähkökenttä tai magneettikenttä on etenemissuuntainen,
eli se ei enää olekaan poikittainen sähkömagneettinen aalto (Transversal electromagnetic wave - TEM).
Oheinen kuva esittää, miten mikä tahansa säännöllinen tasoaalto voidaan häviöttömässä johteessa esittää TE ja TM -aalloiksi.
Tasoaallon heijastuminen aaltoputkessa
Kun aallonpituus on se jaettavissa putken pituussuuntaiseen () ja siihen nähden kohtisuoraan ('normaaliin', )
Yhtälöinä:
- (eq.1)
missä on heijastuvan aallon heijastuskulma ja on saapuvan signaalin aallonpituus vapaassa väliaineessa (jos putkessa olisi jotain muuta kuin ilmaa/tyhjöä.)
Aaltoputkessa oleva tasoaalto on nähtävissä kahtena komponenttina:
ensimmäinen on seisova aalto joka on kohtisuorassa putken heijastavia
seiniä kohtaan ja toinen on liikkuva aalto joka kulkee heijastavien
seinien kanssa samaan suuntaan.
Häivöttömässä aaltoputkessa nämä etenemistila (moodit) voidaan luokitella
olemaan joko transverse electric (TE), tai transverse magnetic (TM).
Suorakaideputkissa näitä moodeja kutsutaan nimillä: ja
, missä laskee puolia aallonpituuksia
sähkö- tai magneettikentän voimakkuuksia x-koordinaatin suuntaan
(yleensä suorakaideputken pidemmän sivun suuntaan.)
Samoin kertoo puolien aallonpituuksien määrän.
Aaltoyhtälöiden ratkaisuja suorakulmaisissa koordinaateissa
Aaltoyhtälöille voidaan tarjota ratkaisut sekä aika- että taajuusdomaineissa.
Yksinkertaisuuden vuoksi käsittelemme nyt kuitenkin vain siniaallon
vakaan tilan (steady state) ratkaisuja oikeakätisessä suorakulmaisessa
koordinaatistossa.
Sähköiset ja magneettiset aaltoyhtälöt voidaan esittää taajuusdomainissa
seuraavin vektoriyhtälöin:
- (eq.2)
- (eq.3)
jossa .
Suorakulmaisissa (ja yleensä oikeakätisissä) koordinaateissa lausuttavat E
tai H noudattavat kompleksista skalaariaaltoyhtälöä, tai Helmholtzin
yhtälöä.
- (eq.4)
Helmholtzin yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa on:
- (eq.5)
Tämä on lineaarinen ja homogeeninen osittaisdifferentiaaliyhtälö kolmessa ulottuvuudessa.
Käyttämällä muuttujien erottelua, ratkaisuksi saadaan:
- (eq.6)
missä esim. on funktio pelkän -koordinaatin suhteen.
Pienellä sijoitus ja kaavajumpalla edellisistä saadaan:
- (eq.7)
Koskapa edellisten kolmen termin summa on vakio ja jokainen niistä
termeistä on oma itsenäinen riippumaton muuttuja, jokaisen osatermin
pitää olla yhtäsuuret.
Olkoot yllä olevat kolme termiä: ,
osittaisdifferentiaalin erottelu voidaan esittää muodossa:
- (eq.8)
Yleinen ratkaisu kullekin (eq.7) differentiaaliyhtälölle on:
|
|
(eq.9-x)
|
|
|
(eq.9-y)
|
|
|
(eq.9-z)
|
ja ne ovat käännettävissä muotoon:
|
|
(eq.10-x)
|
|
|
(eq.10-y)
|
|
|
(eq.10-z)
|
Suorakulmaisissa koordinaateissa Helmholtz yhtälöjen täydet ratkaisut ovat näin ollen:
|
|
|
|
|
(eq.11)
|
Aaltojen eteneminen aaltoputkessa ajatellaan konvention mukaan
olevan positiiviseen z-koordinaatin suuntaan.
On myöskin huomiolle pantavaa, että aaltoputken etenemisvakio
putkessa poikkeaa putkea täyttävän väliaineen
etenemisvakiosta ().
Olkoot:
- (eq.12)
missä
- (eq.13)
yleensä tämä tunnetaan termillä cutoff wave number.
Häviöttömälle eristeelle/täyteaineelle käytämme saamme:
- (eq.14)
Näin saamme kolme erilaista tapausta etenemävakiolle
aaltoputkissa:
Tapaus 1:
Aallon etenemistä ei tapahdu (vaan voimakasta häipymistä) jos
ja .
Edellä oleva on ns. kriittinen raja alarajataajuudelle ja se voidaan muotoilla:
- (eq.15)
Tapaus 2:
Aaltomuoto etenee putkessa, jos ja:
- (eq.16)
Tämä merkitsee, että taajuuden pitää olla alarajan yläpuolella, jotta
aaltomuoto etenisi putkessa.
Tapaus 3:
Aaltomuoto vaimenee, jos ja:
- (eq.17)
joka kertoo, että operoitaessa taajuudella joka on alarajan alapuolella,
aaltomuoto vaimenee eksponentiaalisesti suhteessa tekijään , eikä aaltomuoto etene, koska etenemisvakio on reaaliluku.
Siksi ratkaisuksi Helmholtzin yhtälölle suorakulmaisissa koordinaateissa voidaan antaa:
- (eq.18)
TE-muodot suorakulmaisessa aaltoputkessa
Edellä oletettiin, että aaltomuodot etenevät positiiviseen z-akselin suuntaan
oikeakätisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.
TEmn-etenemismuotojen ominaispiirre aaltoputkessa on, että
.
Toisin sanoen, magneettikentän z-komponentin, ,
pitää olla olemassa, että energiaa siirtyisi putkessa.
Seuraten edellä mainitusta Helmholtzin yhtälöstä:
- (eq.19)
jolle saadaan ratkaisu joka on muotoa:
|
|
|
|
|
(eq.20)
|
jota rajoittavat annetut rajaehdot, missä:
ja
sijoitettiin yhtälöön.
Häivöttömälle eristeelle Maxwellin curl-yhtälöt taajuusdomainissa ovat:
|
|
(eq.21-E)
|
|
|
(eq.21-H)
|
suorakulmaisissa koordinaateissa niiden komponentit ovat:
- (eq.22-Ez)
- (eq.22-Ex)
- (eq.22-Ey)
- (eq.22-Hz)
- (eq.22-Hx)
- (eq.22-Hy)
Sijoittamalla edellisiin yhtälöihin ja , saadaan yksinkertaisemmat yhtälöt:
|
|
(eq.23-Hx)
|
|
|
(eq.23-Hy)
|
|
|
(eq.23-Hz)
|
|
|
(eq.23-Ex)
|
|
|
(eq.23-Ey)
|
|
|
(eq.23-Ez)
|
Ratkaisemalla näistä kuudesta yhtälöstä muuttujan suhteen ja
tekemällä sijoitus , saadaan TE-moodin kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa:
|
|
(eq.24-Ex)
|
|
|
(eq.24-Ey)
|
|
|
(eq.24-Ez)
|
|
|
(eq.24-Hx)
|
|
|
(eq.24-Hy)
|
|
|
(eq.20)(eq.24-Hz)
|
|
|
|
Differentioimalla yhtälö (eq.24-Hz) x:n ja y:n suhteen ja
sitten sijoittamalla tulokset muista (eq.24) ryhmän yhtälöistä siihen, saadaan varsinaiset kenttäyhtälöt.
Rajatilojen määritykset sovitetaan saatuihin uusiin yhtälöihin siten,
että joko E-kentän tangentti, tai H-kentän normaali
katoaa johteiden pinnoilla.
Koska silloin , on
kun y = 0 tai b.
Siten .
Koskapa silloin kun x = 0 tai a. Siten myös .
Noin ylipäätään voidaan vetää johtopäätös, että :n
normaalin derivaatan pitää kadota johtavalla pinnalla, eli johteen
seinillä:
- (eq.25)
Tästä seuraa, että magneettikenttä positiiviseen z-akselin suuntaan
voidaan kirjoittaa:
- (eq.26)
missä on amplitudivakio.
Sijoittamalla yhtälö (eq.26) ryhmän (eq.24) yhtälöihin, saadaan
TEmn kenttäyhtälöt suorakulmaisessa aaltoputkessa:
|
|
(eq.27-Ex)
|
|
|
(eq.27-Ey)
|
|
|
(eq.27-Ez)
|
|
|
(eq.27-Hx)
|
|
|
(eq.27-Hy)
|
|
|
(eq.26)(eq.27-Hz)
|
edellä m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, mutta
arvo m = n = 0 ei ole sallittu.
Apumuuttuja:
- (eq.28)
on signaalin vaihenopeus putken sisäisessä eristeaineessa, ilmalle/tyhjölle se on valonnopeus.
Cutoff wave number:
- (eq.29)
- (eq.30)
jossa a ja b on metreinä.
Alarajataajuus on:
- (eq.31)
jota vastaava aallonpituus:
- (eq.32)
Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!
Etenemisvakio (tai tässä vaihevakio):
- (eq.33)
Vaihenopeus positiivizeen z-akselin suuntaan:
- (eq.34)
Ominaisaaltoimpedanssi TE-moodeille voidaan lausua yhtälöistä (eq.23-Hx ja eq.23-Hy) johtamalla muotoon:
- (eq.35)
missä: on eristeen ominaisimpedanssi.
Aaltoputken aallonpituus on:
- (eq.36)
missä: on aallonpituus putken sisäeristeessä.
TM-aaltoputkimoodit suorakaideputkelle
TMmn-etenemismuotojen ominaispiirre aaltoputkessa on, että
.
Toisin sanoen, sähkökentänkentän z-komponentin, ,
pitää olla olemassa, että energiaa siirtyisi putkessa.
Seuraten edellä mainitusta, Helmholtzin yhtälöstä tulee:
- (eq.37)
jolle saadaan ratkaisu joka on muotoa:
|
|
|
|
|
(eq.38)
|
jonka varsinaista ratkaisua varten sitä täytyy rajoittaa
rajapintaehdoilla.
Tämä on samanlaista, kuin TE-moodien haku.
Rajapintaehto vaatii, että kenttä häviää (nollaan) aaltoputken seinillä, koska sähkökentän tangenttikomponentin () tulee olla nolla johtavalla pinnalla.
Näin ollen koska kun ,
silloin .
Samoin -ehto reunoilla 0, b pakottaa: .
Näin yhtälö (eq.38) pelkistyy muotoon:
- (eq.39)
missä .
Jos m tai n ovat nollia, kentät vaimenevat nollaan.
Siksi suorakulmaisessa putkessa ei ole TM01 tai TM10 -moodeja, jonka vuoksi TE10-moodi on
dominoiva suorakulmaisessa putkessa, jonka a > b.
Tapaukselle saadaan kenttäyhtälöt laventamalla
:
|
|
(eq.40-Hz)
|
|
|
(eq.40-Hy)
|
|
|
(eq.40-Hx)
|
|
|
(eq.40-Ex)
|
|
|
(eq.40-Ey)
|
|
|
(eq.40-Ez)
|
Näiden yhtälöiden samanaikainen ratkaisu :n suhteessa muuttujille ja
tekemällä sijoitus , saadaan kenttäyhtälöt TM-moodeille:
|
|
(eq.41-Ex)
|
|
|
(eq.41-Ey)
|
|
|
(eq.41-Ez)(eq.39)
|
|
|
(eq.41-Hx)
|
|
|
(eq.41-Hy)
|
|
|
(eq.41-Hz)
|
Differentoimalla edellä olevat yhtälöt x:n ja y:n suhteen
sekä sijoittamalla tulokseen yhtälöiden (eq.41) tulokset saadaan
varsinaiset TMmn-moodin kenttäyhtälöt suorakulmaisessa
aaltoputkessa muotoon:
|
|
(eq.42-Ex)
|
|
|
(eq.42-Ey)
|
|
|
(eq.42-Ez)(eq.39)
|
|
|
(eq.42-Hx)
|
|
|
(eq.42-Hy)
|
|
|
(eq.42-Hz)
|
Useimmat TM-moodin ominaisyhtälöistä ovat identtisiä
TM-moodin kanssa, mutta pari poikkeustakin on:
Alarajataajuus on kuten TE-moodilla yllä.
Etenemisvakio on kuten TE-moodilla yllä.
Vaihenopeus on kuten TE-moodilla yllä.
Ominaisaaltoimpedanssi TM-moodeille voidaan lausua:
- (eq.43-Zg)
missä: on eristeen
ominaisimpedanssi kuten TE-moodilla.
Aaltoputken aallonpituus on kuten TE-moodilla.
Tehon siirto suorakulmaisessa aaltoputkessa
Aaltoputkessa siirrettävä teho ja putken seinämähäviöt
voidaan laskea kompleksisessa Poynting teoreemalla.
Lähtökohtana pidetään tilannetta, jossa aaltoputki on äärettömän
pitkä suhteessa aallonpituuteen ja että se on päätetty ideaaliseen kuormaan siten, ettei päistä tule heijastuksia.
Aaltoputkessa siirrettävä teho on lausuttavissa:
- (eq.44)
Häviöttömälle eristeelle saadaan aaltoputken läpi kulkevan tehon aika-keskiarvo lausuttua:
- (eq.45)
missä:
Näin TEmn-moodeille on keskimääräinen suorakaideaaltoputken läpi kulkeva teho:
- (eq.46-TE)
Vastaavasti TMmn-moodeille se on:
- (eq.46-TM)
edellä on eristeaineen ominaisimpedanssi.
Tehohäviö suorakulmaisessa aaltoputkessa
Suorakulmaisessa aaltoputkessa on kahdenlaisia häviöitä:
- eristeaineen häviöt
- putken seinien ohmiset häviöt
---------------- TODO ---------------------
TE-aaltoputkimoodit pyöreälle putkelle
Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:
joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.
Etenemismoodit ovat besselin funktion juuria (joka on siis besselin funktion derivaatta ja edustaa perättäisiä maksimeja ja minimejä).
Merkintä tarkoittaa funktion derivaatan p:nnettä nollakohtaa ja ollaan kiinnostuneet parametrin numeerisesta arvosta siinä nollakohdassa.
Cutoff wave number:
Etenemisvakio on muotoa:
Alarajataajuus:
sitä vastaava aallonpituus:
Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!
TE-moodin vaihenopeus:
Aallonpituus:
jossa on aallonpituus täytteenä olevassa eristeaineessa.
Aaltoimpedanssi:
missä on eristeaineen ominaisimpedanssi.
TM-aaltoputkimoodi pyöreälle putkelle
Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:
joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.
Etenemismoodit ovat besselin funktion juuria
ja merkintä tarkoittaa funktio p:nnettä juurta ja ollaan kiinnostuneita nimenomaan parameterin (tulon) arvosta siinä kohdassa.
Cutoff wave number:
Etenemisvakio on muotoa:
Alarajataajuus:
sitä vastaava aallonpituus:
Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!
TM-moodin vaihenopeus on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.
Aallonpituus on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.
Aaltoimpedanssi on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.
Tyypit
Suorakaideputki (rectangular waveguide)
Suorakaideputkessa sähkökenttä on poikittain putkessa sen pidempien sivujen
välillä. Sähkökentän voimakkuus putoaa reunoilla (lyhyet sivut) nollaan ja on
keskellä maksimi. Jakaumakuvio on sinikäyrä.
Magneettikenttä koostuu silmukoista jotka ovat samansuuntaisia pitkien sivujen
kanssa.
Ilma-/tyhjötäytteiselle suorakaiteen muotoiselle aaltoputkelle
tehollinen aallonpituus on:
missä:
- on aallonpituus tyhjössä
- a on isompi sisämitoista ("pitkän sivun" mitta)
Suorakaideputkella signaalin polarisaatio on samansuuntainen sähkökentän kanssa,
eli se on samansuuntainen lyhyiden sivujen kanssa.
Tällaisen putken käyttökelpoinen ylätaajuus on tyypillisesti (korkeampien etenemismoodien välttötarpeesta johtuen) noin 1.4 kertaa alarajataajuus.
Pyöreä putki (circular/round waveguide)
Pyöreässä aaltoputkessa voidaan kuljettaa energiaa, mutta se ei pakota
signaalille mitään polarisaatiota. Tästä voi toisaalta olla etuakin,
kun halutaan tuottaa/kuljettaa pyörivää polarisaatiota.
Pyöreän aaltoputken ensisijainen etenemismoodi on ns. TE-11 ja
sen raja-aallonpituus voidaan määrittää olevan:
missä:
Pyöreän aaltoputken aallonpituus voidaan näin lausua olevan:
Seuraava mutkikkaampi etenemismoodi on TM-01, jolle
.
Tämä vastaa taajuutta, joka on vain noin 1.3 kertainen
TE-11 alarajataajuuteen, joten pyöreä putki toimii
havaittavasti kapeammalla taajuusalueella, kuin suorakaideputki.
Harjanneputki (ridged waveguide)
Tekemällä suorakaideputken pitkän sivun keskelle pitkittäinen harjanne (joko vain toiseen sivuun, tai molempiin), saadaan tehtyä putki, jossa käyttökelpoinen taajuusalue on huomattavasti laajempi, kuin tavallisessa putkessa.
Tämä seuraa keskiharjanteen olemassaolon haitasta ylemmille etenemismuodoille.
Tyypillisesti käyttökelpoinen ylätaajuus voi olla 2.0-2.5 kertainen alarajaan nähden.
Koska harjanneputkessa sähkökenttä on harjanteiden välillä lyhimmillään,
myös läpilyönti voi tapahtua pienemmällä jännitteellä kuin harjanteettomassa
tavallisessa suorakaideputkessa. Näin harjanneputken maksimi tehokesto on
pienempi, kuin suorakaideputkella.