Aaltoputkien teoria

Tämä artikkeli menee syvälle aaltoputkien matematiikassa, jos Maxwell ja osittaisdifferentiaalit ovat ystäviäsi, astu rohkeasti eteenpäin.

Lopputuloksia esitetään "Teoria" nimisessä osassa aaltoputki artikkelissa.

Yleistä

Sähkömagneettista tehoa voidaan siirtää ontossa johdeputkessa. Kun sähkömagneettista kenttää rajoitetaan tällä tavalla, sen etenemistavat poikkeavat vapaan avaruuden tilanteesta. Johtavat seinämät sallivat sähkömagneettisen kentän olemassaolon vain kun johteen pintaa pitkin ei ole sähkökenttää. Aaltoputken ominaisuudet riippuvat täten sen muodosta ja koosta. Erilaiset epäjatkuvuudet aaltoputkessa muuttavat sen siirtolinjaominaisuuksia ja näitä ominaisuuksia voidaan käyttää tuottamaan induktiivista- tai kapasitiivista reaktanssia.

Kaikille aaltoputkimuodoille voidaan sanoa, että:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(\lambda /\lambda _{c}\right)^{2}}}}\,$

missä:

• $\lambda _{g}\,$ aaltoputkimoodin mukainen tehollinen aallonpituus
• $\lambda _{c}\,$ on aaltoputken alarajataajuuden mukainen aallonpituus, tarkemmin alempana
• $\lambda \,$ on aallonpituus putkea täyttävässä eristeessä

Sähkö- ja magneettikenttien kuviot ovat erilaisia eri moodeissa ja niille onkin kehitetty vakio nimistö sen mukaan, onko sähkökenttä (E) vai magneettikenttä (M) nolla etenemissuuntaan (putken pituusakseli) (T = Transversal = poikittainen) josta saadaan kolme yhdistelmää: TE, TM, TEM. Aaltoputkissa vain TE ja TM ovat mahdollisia. Näihin lisätään suffiksit (TEmn, TMmn), jotka kertovat että montako kertaa kyseinen kenttä muuttuu annetulla akselilla. Merkintätapa on, että ensimmäinen numero (m) on suorakaideputken pidemmän sivun (a) suuntaan olevien puoliaaltojen määrän ja toinen (n) on lyhyemmän sivun (b).

Pyörittelemällä Maxwellin yhtälöitä ja kieltämällä tapaus: $m=n=0$ saadaan:

TE-aaltoputkimoodit suorakaideputkelle

Apumuuttuja:

$v_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}={\frac {c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}$

on signaalin vaihenopeus putken sisäisessä eristeaineessa, ilmalle/tyhjölle se on valonnopeus.

Cutoff wave number:

$k_{c}={\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}}=\omega _{c}{\sqrt {\mu \epsilon }}={\frac {\omega _{c}}{v_{p}}}$

$\,\,={\frac {2\pi f_{c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}{c}}$

jossa a ja b on metreinä.

Alarajataajuus on:

$f_{c}={\frac {1}{2{\sqrt {\mu \epsilon }}}}{\sqrt {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}}}={\frac {1}{2}}v_{p}{\sqrt {{\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}}}$

jota vastaava aallonpituus:

$\lambda _{c}={\frac {2}{\sqrt {\left({\frac {m}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{b}}\right)^{2}}}}$

Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!

Etenemisvakio (tai tässä vaihevakio):

$\beta _{g}=\omega {\sqrt {\mu \epsilon }}{\sqrt {1-\left({\frac {f_{c}}{f}}\right)^{2}}}$

Vaihenopeus:

$v_{g}={\frac {\omega }{\beta _{g}}}={\frac {v_{p}}{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

Ominaisaaltoimpedanssi TE-moodeille voidaan lausua:

$Z_{g}={\frac {E_{x}}{H_{y}}}=-{\frac {E_{y}}{H_{x}}}={\frac {\omega \mu }{\beta _{g}}}={\frac {\eta }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

missä: $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeen ominaisimpedanssi.

Aaltoputken aallonpituus on:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

missä: $\lambda =v_{p}/f\,$ on aallonpituus putken sisäeristeessä.

TM-aaltoputkimoodit suorakaideputkelle

Alarajataajuus $f_{c}$ on kuten TE-moodilla.

Etenemisvakio $\beta _{g}\,$ on kuten TE-moodilla.

Vaihenopeus $v_{g}\,$ on kuten TE-moodilla.

Ominaisaaltoimpedanssi TM-moodeille voidaan lausua:

$Z_{g}={\frac {\beta _{g}}{\omega \epsilon }}=\eta {\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}$

missä: $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeen ominaisimpedanssi kuten TE-moodilla.

Aaltoputken aallonpituus $\lambda _{g}\,$ on kuten TE-moodilla.

TE-aaltoputkimoodit pyöreälle putkelle

Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:

$v_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}={\frac {c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}$

joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.

Etenemismoodit ovat besselin funktion $J_{n}^{\prime }(k_{c}r)=0\,$ juuria (joka on siis besselin funktion derivaatta ja edustaa perättäisiä maksimeja ja minimejä). Merkintä $X_{np}^{\prime }\,$ tarkoittaa $J_{n}$ funktion derivaatan p:nnettä nollakohtaa ja ollaan kiinnostuneet parametrin $k_{c}r$ numeerisesta arvosta siinä nollakohdassa.

Cutoff wave number:

$k_{c}={\frac {X_{np}^{\prime }}{r}}=\omega _{c}{\sqrt {\mu \epsilon }}={\frac {\omega _{c}}{v_{p}}}$

Etenemisvakio on muotoa:

$\beta _{g}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \epsilon -\left({\frac {X_{np}^{\prime }}{r}}\right)^{2}}}$

Alarajataajuus:

$f_{c}={\frac {X_{np}^{\prime }}{2\pi r{\sqrt {\mu \epsilon }}}}={\frac {X_{np}^{\prime }v_{p}}{2\pi r}}$

sitä vastaava aallonpituus:

$\lambda _{c}={\frac {2\pi r}{X_{np}^{\prime }}}$

Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!

TE-moodin vaihenopeus:

$v_{g}={\frac {\omega }{\beta _{g}}}={\frac {v_{p}}{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

Aallonpituus:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

jossa $\lambda ={\frac {v_{p}}{f}}$ on aallonpituus täytteenä olevassa eristeaineessa.

Aaltoimpedanssi:

$Z_{g}={\frac {\omega \mu }{\beta _{g}}}={\frac {\eta }{\sqrt {1-\left(f_{c}/f\right)^{2}}}}$

missä $\eta ={\sqrt {\mu /\epsilon }}$ on eristeaineen ominaisimpedanssi.

TM-aaltoputkimoodi pyöreälle putkelle

Vaihenopeus putken sisällä olevassa eristeaineessa:

$v_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}={\frac {c}{\sqrt {\mu _{r}\epsilon _{r}}}}$

joka ilmalle/tyhjölle on käytännössä valonnopeus.

Etenemismoodit ovat besselin funktion $J_{n}(k_{c}r)=0\,$ juuria ja merkintä $X_{np}$ tarkoittaa $J_{n}$ funktio p:nnettä juurta ja ollaan kiinnostuneita nimenomaan parameterin $k_{c}r$ (tulon) arvosta siinä kohdassa.

Cutoff wave number:

$k_{c}={\frac {X_{np}}{r}}=\omega _{c}{\sqrt {\mu \epsilon }}={\frac {\omega _{c}}{v_{p}}}$

Etenemisvakio on muotoa:

$\beta _{g}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \epsilon -\left({\frac {X_{np}}{r}}\right)^{2}}}$

Alarajataajuus:

$f_{c}={\frac {X_{np}}{2\pi r{\sqrt {\mu \epsilon }}}}={\frac {X_{np}v_{p}}{2\pi r}}$

sitä vastaava aallonpituus:

$\lambda _{c}={\frac {2\pi r}{X_{np}}}$

Huomio: Tämä ei riipu putken täyteaineen ominaisuuksista!

TM-moodin vaihenopeus $v_{g}\,$ on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.

Aallonpituus $\lambda _{g}\,$ on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.

Aaltoimpedanssi $Z_{g}$ on sama yhtälö, kuin TE-moodilla.

Tyypit

Suorakaideputki (rectangular waveguide)

Suorakaideputkessa sähkökenttä on poikittain putkessa sen pidempien sivujen välillä. Sähkökentän voimakkuus putoaa reunoilla (lyhyet sivut) nollaan ja on keskellä maksimi. Jakaumakuvio on sinikäyrä. Magneettikenttä koostuu silmukoista jotka ovat samansuuntaisia pitkien sivujen kanssa.

Ilma-/tyhjötäytteiselle suorakaiteen muotoiselle aaltoputkelle tehollinen aallonpituus on:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(\lambda /2a\right)^{2}}}}\,$

missä:

• $\lambda \,$ on aallonpituus tyhjössä
• a on isompi sisämitoista ("pitkän sivun" mitta)

Suorakaideputkella signaalin polarisaatio on samansuuntainen sähkökentän kanssa, eli se on samansuuntainen lyhyiden sivujen kanssa.

Tällaisen putken käyttökelpoinen ylätaajuus on tyypillisesti (korkeampien etenemismoodien välttötarpeesta johtuen) noin 1.4 kertaa alarajataajuus.

Pyöreä putki (circular/round waveguide)

Pyöreässä aaltoputkessa voidaan kuljettaa energiaa, mutta se ei pakota signaalille mitään polarisaatiota. Tästä voi toisaalta olla etuakin, kun halutaan tuottaa/kuljettaa pyörivää polarisaatiota.

Pyöreän aaltoputken ensisijainen etenemismoodi on ns. TE-11 ja sen raja-aallonpituus voidaan määrittää olevan:

$\lambda _{c}=J_{n}^{\prime }(k_{c},r)=3.412\ r\,$

missä:

• r on putken sisäsäde.

Pyöreän aaltoputken aallonpituus voidaan näin lausua olevan:

$\lambda _{g}={\frac {\lambda }{\sqrt {1-\left(\lambda /3.412\ r\right)^{2}}}}\,$

Seuraava mutkikkaampi etenemismoodi on TM-01, jolle $\lambda _{c}=2.613\ r\,$. Tämä vastaa taajuutta, joka on vain noin 1.3 kertainen TE-11 alarajataajuuteen, joten pyöreä putki toimii havaittavasti kapeammalla taajuusalueella, kuin suorakaideputki.

Harjanneputki (ridged waveguide)

Tekemällä suorakaideputken pitkän sivun keskelle pitkittäinen harjanne (joko vain toiseen sivuun, tai molempiin), saadaan tehtyä putki, jossa käyttökelpoinen taajuusalue on huomattavasti laajempi, kuin tavallisessa putkessa. Tämä seuraa keskiharjanteen olemassaolon haitasta ylemmille etenemismuodoille.

Tyypillisesti käyttökelpoinen ylätaajuus voi olla 2.0-2.5 kertainen alarajaan nähden.

Koska harjanneputkessa sähkökenttä on harjanteiden välillä lyhimmillään, myös läpilyönti voi tapahtua pienemmällä jännitteellä kuin harjanteettomassa tavallisessa suorakaideputkessa. Näin harjanneputken maksimi tehokesto on pienempi, kuin suorakaideputkella.