Ballistiikka

Mihin radioamatööri tarvitsee ballistiikkaa?

• Singotakseen heittopainon onnistuneesti puuhun
• Tehdäkseen jotain muuta, jolla ei ole varsinaisesti mitään tekemistä radioamatöörien normaalien puuhien kanssa.

Ballistinen matematiikka

Perusyhtälöt pätevät, kun ammuksen aerodynamiikkaa ei tarvitse ottaa huomioon.

Ballistiikan perusyhtälöt:

$x=v_0\cos \left(\alpha \right)t$

$y=v_0\sin \left(\alpha \right)t-\frac{1}{2}g{t}^2$

missä:

$\alpha$: ammuksen lähtösuunnan korotuskulma suhteessa horisonttiin

$g$: paikallinen painovoimakiihtyvyys (9.81 m/s²)

$t$: aika

$v_0$: ammuksen lähtönopeus

Ammuksen lentoaika (tasamaalla) saadaan hakemalla tilanne: y=0

$v_0\sin \left(\alpha \right)t=\frac{1}{2}g{t}^2$

supistetaan yhteinen muuttuja: t

$v_0\sin \left(\alpha \right)=\frac{1}{2}gt$

ja ratkaistaan t:n suhteen:

$t=\frac{2v_0\sin \left(\alpha \right)}{g}$

Lentoaikaa määrää siis käytännössä ammuntakulma ja lähtönopeus.

Ammuksen kantama on perusyhtälön x lentoajan hetkellä t.

Jos on ammuttu suoraan ylös ja saatu ammuksen kokonaislentoaika, voidaan lähtönopeus määrittää:

$v_0=\frac{gt}{2\sin \left(\alpha \right)}$

Ammuksen maksimi lentokorkeus on se, jossa pystysuuntaisen liikenopeuden aikaderivaatta kääntyy negatiiviseksi ( = ammus alkaa pudota nopeammin, kuin sen ylöspäin suuntautuva vauhti on sitä kuljettanut.)

Tämä tapahtuu puolessa lentoajasta ja siitä eteenpäin ammus putoaa kiihtyvällä vauhdilla kohti maata:

$h_{max}=\frac{1}{2}g{\left(\frac{1}{2}t\right)}^2=\frac{1}{8}g{t}^2$

tai käyttämällä t:n tilalla v₀:n aikayhtälöä:

$h_{max}=\frac{{v_0}^2{(\sin \alpha )}^2}{2g}$

Rekyyli

Kun massaa m₁ potkitaan voimalla F, se saa nopeuden v₁. Tämä sama voima kohdistuu myös aseeseen, josta ammusta singotaan ulos ja aseen massan ollessa m₂ saadaan aseen vastakkaiseen suuntaan tapahtuvaksi liikenopeudeksi:

$v_2=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}{v}_1$

Kun ammus kiihdytetään nopeuteen v matkalla s ja ammuksen massa on m:

• Kiihtyvyys on: $a=\frac{v^2}{2s}$
• Voima jolla kiihdytetään on: $F=ma$
• Aika jossa kiihdytys tapahtuu on: $t=\frac{2s}{v}$
• Työ joka tehdään kiihdytyksessä: $P=Ft=mv$

Esimerkki

Suoraan ylös ammutulle ammukselle on mitattu lentoajaksi 10.2 sekuntia:

$v_0=\frac{gt}{2}=\frac{9.81\cdot 10.2}{2}=50.03m/s$

$h_{max}=\frac{1}{8}9.81\cdot 10.2^2=127.6m$

Ammuksen massa on 60 grammaa ja aseen massa 100 kilogrammaa. Aseen rekyyliliikenopeus on:

$\sqrt{\frac{0.060}{100}}50m/s=1.2m/s$

Aseen putken pituus on 1.5 metriä, jolloin ammuksen kiihtyvyys on:

$\frac{50^2}{2\cdot 1.5}=833m/s^2\approx 83g$

Aika jonka ammus on putkessa on:

$\frac{2\cdot 1.5}{50}=60ms$

Energia joka ammukseen on sijoitettu on sen kineettinen energia:

$\frac{1}{2}m{v}^2=0.5\cdot 0.060\cdot 50^2=75Joulea$

Aerodynamiikan vaikutukset

TODO: TARKASTETTAVA!

Oletetaan, että ammus ei ole V1 raketin tapainen siivillä varustettu laite, vaan jokin symmetrinen, kuten pallo..

Aerodynamiikka vaikuttaa ensisijaisesti nopeutta (v₀) pienentävästi. Tämä aikaansaa todellisen lentoradan vaipumisen ideaalimallin paraabelin alle.

Nopeuksilla jotka ovat selkeästi alle äänennopeuden, aerodynaaminen indusoitunut vastus riippuu nopeudesta: $F_{ind}=\rho A{C}_d{v}^2$. Missä:

• $\rho$ (rho) on ilman tiheys (1.225 kg/m³ @ h = 0 km, 0°C)
• C_d on ilmanvastuskerroin
• A: on kappaleen poikkipinta-ala kohtisuoraan virtauksen (liikkeen) suhteen
• v: on kappaleen nopeus

Lentävän kappaleen kineettinen energia on puolestaan: $E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Kun indusoituneen vastuksen tuottama energiahukka on syönyt pois kaiken vaakaliikkeen, ammuksen liike on enää pystysuoraa ja siinä tullaan rajanopeusyhtälöön jonka määrittää tasapaino:

$F=mg$ vs. $F_{ind}=\rho A{C}_d{v}^2$

josta:

$mg=\rho A{C}_d{v}^2$

ja edelleen:

$v_{max}=\sqrt{\frac{mg}{\rho A{C}_d}}$

silloin ammuksen potentiaalienergiasta tuleva nopeuden lisäys rajoittuu ilmanvastukseen.

HUOMAA: Em. yhtälö pätee kaikkiin rajanopeudella vajoaviin asioihin - laskuvarjot, tennispallot, jne.. Se pätee myös vedessä tapahtuvaan vajoamiseen, ei vain ilmaan.