Nyquistin teoreema

Tämä artikkeli on sovitettu englanninkielisestä Wikipediasta.

Nyquistin teoreema tai Nyquist-Shannon näytteenottoteoreema on informaatioteorian alan keskeisiä opinkappaleita.

Se tunnetaan myös Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon näytteenottoteoreemana.

Teoreema lausuu (yhdellä tavalla lukien), että muunnettaessa analogista signaalia digitaaliseksi (tai muuten näytteytettäessä signaalia diskreetein aikavälein), silloin näytteenottotaajuuden pitää olla ainakin tuplat korkeimmasta ottosignaalin taajuudesta kyetäkseen rekonstruoimaan alkuperäisen täydellisessä muodossaan.

Jos näytteytystaajuus on tämän rajan alla, silloin alkuperäisen signaalin taajuuskomponentit jotka ovat yli puolen näytteytystaajuuden yläpuolella kohtaavat aliasoinnin (tai "laskostuksen", kuten sitä joskus kutsutaan) ja sen seurauksena kuvautuvat alemmille taajuuksille. (Täsmälleen ottaen tapahtuma on juuri sama, kuin mitä balansoimaton sekoitin tekee taajuusspekreille.) Jos näytteytystaajuus on täsmälleen kaksinkertainen korkeimpaan syötesignaaliin nähden, näytteenoton ja signaalin keskinäinen vaihe-ero vääristää signaalia.

Aliasoinnin ongelmien takia realisoitujen muuntimien eteen laitetaan yleensä alipäästösuotimet, jotka pitävät nämä aliakset poissa häiritsemästä. Koskapa tällaisen anti-alias suodattimen on oltava varsin laadukas mm. ryhmäkulkuaikojensa suhteen, ne eivät juuri koskaan ole erityisen halpoja

Teoreema toimii myös, kun on tarkoitus vähentää näytteytystaajuutta olemassaolevassa digitaalisessa aineistossa.

Harry Nyquist laati tämän teoreeman vuonna 1928 ("Certain topics in telegraph transmission theory"), mutta vasta vuonna 1949 Claude E. Shannon todisti sen matemaattisesti.

Täsmällinen teoreema ei ole tässä tarpeen, sen käytännön seurauksia ovat mm:

• Signaalitaajuus $\omega \,$ on mahdollista kuvata täydellisesti, kunhan sitä näyteistetään vähintään taajuudella $2\omega \,$.
  • Käytännössä tällä rajalla koetaan vaiheherkkyysongelma, jossa menetetään varmuus aina tunnistaa signaalin suurin amplitudi
  • Käytännössä noin 30-35% näytetaajuudesta on kelvollinen aliasoimaton ylärajataajuus.
• Signaalikaistaleveys $\omega \,$ on mahdollista kuvata täydellisesti, kunhan sitä näyteistetään vähintään taajuudella $2\omega \,$
  • ... kunhan alias-laskostus ei osu kohdalle.

Tunnettu seuraus näytteenottoteoreemasta on, että signaalia ei voi sekä kaistaleveysrajoittaa, että aikarajoittaa (äkkinäinen signaalin loppuminen näkyy leveänä spektrinä.)

Olettakaamme että on signaali jota näytteytetään Nyquist-taajuutta nopeammin. Näiden äärellisen monen time-domain vakion pitäisi määrittää koko signaali. Vastaavasti äärellisen monen time-domain vakion avulla pitäisi olla mahdollista esittää koko kaistaleveysrajoitettu spektri. Matemaattisesti tämä voidaan esittää vaatimuksena, että trigonometrisellä polynomilla on äärettömän monta nollaa, koska kaistaleveysrajoitetun signaalin pitää olla nolla rajoitetun kaistaleveyden ulkopuolella. Kuitenkin algebran perusteoreema sanoo, ettei polynomeilla voi olla enempiä nollia kuin niiden kertaluku on. Tästä ristiriidasta seuraa, että aikarajoitettua ja samalla kaistaleveysrajoitettua signaalia ei voi olla olemassa.

Alinäytteytys

Edellä kerrottu "näytteistys vähintään kaksinkertaisella taajuudella korkeimpaan taajuuteen nähden" on asian tavallisin versio, mutta ei koko totuus. Täsmälleen ottaenhan teoreema ei puhu korkeimmasta taajuudesta, vaan kaistaleveydestä. Kaistaleveys on ylimmän ja alimman hyötysignaalin taajuuden erotus. Kaistaleveys ja ylin taajuus ovat identtiset vain baseband signaalilla, eli niillä jotka ovat lähellä tasavirtaa (nollataajuutta).

Alinäytteytys on tavallaan sukua aliharmooniselle sekoittimelle joka sisältää näytteytyksen ja sekoittimen aktiivikomponentin kaikki samassa.

Alinäytteytys on aktiivisessa käytössä softaradioissa.

Esimerkiksi jos haluat kerätä koko 7-10 MHz taajuuskaistan, sen kaistaleveys on 3 MHz, mutta teoreeman perustulkinnan mukaan sitä pitäisi näytteyttää yli 20 MHz tahtiin. 6 MHz näytteytys puolestaan kuvaa taajuusalueen 7-9 MHz taajuuksille 1-3 MHz ja 9-10 MHz taajuuksille 3-2 MHz (käänteiseen järjestykseen!)

Asiasta löytyy lisää luettavaa http://www.analog.com/ sivuilta koskien mm. piiriä AD6620 (laita hakulaatikkoon)