Ero sivun ”Nyquistin teoreema” versioiden välillä

Radioamatööriwikistä
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
>Oh2mqk
(eka rävellys sisään..)
 
>Oh2mqk
p (näytteytys -> näytteitys)
 
(5 välissä olevaa versiota samalta käyttäjältä ei näytetä)
Rivi 1: Rivi 1:
[[Category:Teoria]] __TOC__
[[Category:Teoria]] __TOC__
''Tämä artikkeli on käännetty englanninkielisestä Wikipediasta''.
''Tämä artikkeli on sovitettu englanninkielisestä Wikipediasta''.


[[Nyquestin teoreema]] tai '''Nyquist-Shannon näytteenottoteoreema''' on
[[Nyquistin teoreema]] tai '''Nyquist-Shannon näytteenottoteoreema''' on
informaatioteorian alan keskeisiä opinkappaleita.
informaatioteorian alan keskeisiä opinkappaleita.


Se tunnetaan myös Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon näytteenottoteoreemana.
Se tunnetaan myös Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon näytteenottoteoreemana.


Teoreema lausuu, että muunnettaessa analogista signaalia digitaaliseksi (tai muuten
Teoreema lausuu (yhdellä tavalla lukien), että muunnettaessa analogista signaalia digitaaliseksi (tai muuten näytteistettäessä signaalia diskreetein aikavälein), silloin '''näytteenottotaajuuden''' pitää olla ''ainakin tuplat'' korkeimmasta ottosignaalin taajuudesta kyetäkseen rekonstruoimaan alkuperäisen täydellisessä muodossaan.
käytteytettäessä signaalia diskreetein aikavälein), silloin '''näytteenottotaajuuden'''
pitää olla ''ainakin tuplat'' korkeimmasta ottosignaalin taajuudesta kyetäkseen
rekonstruoimaan alkuperäisen täydellisessä muodossaan.


----
Jos näytteistystaajuus on tämän rajan alla, silloin alkuperäisen signaalin taajuuskomponentit jotka ovat yli puolen näytteistystaajuuden yläpuolella kohtaavat aliasoinnin (tai "laskostuksen", kuten sitä joskus kutsutaan)
ja sen seurauksena kuvautuvat alemmille taajuuksille.
(Täsmälleen ottaen tapahtuma on juuri sama, kuin mitä balansoimaton [[sekoitin]] tekee taajuusspekreille.)
Jos näytteistystaajuus on täsmälleen kaksinkertainen korkeimpaan syötesignaaliin nähden, näytteenoton ja signaalin keskinäinen vaihe-ero vääristää signaalia (huonolla tuurilla näytteistetään nollakohdassa...)


If the sampling frequency is less than this limit, then frequencies in the original signal that are above half the sampling rate will be "[[aliasing|aliased]]" and will appear in the resulting signal as lower frequencies, therefore audible. If the sampling frequency is exactly twice the highest frequency of the input signal, then phase mismatches between the sampler and the signal will distort the signal. For example, sampling <math>cos(pi * t)</math> at t=0,1,2... will give you the discrete signal <math>cos(pi*n)</math>, as desired. However, sampling the same signal at t=0.5,1.5,2.5... will give you a constant zero signal - these samplers, which differ only in phase, not frequency, give dramatically different results because they sample at exactly the critical frequency.
Aliasoinnin ongelmien takia realisoitujen muuntimien eteen laitetaan yleensä alipäästösuotimet, jotka pitävät nämä aliakset poissa häiritsemästä.
Koskapa tällaisen '''anti-alias suodattimen''' on oltava varsin laadukas mm. ryhmäkulkuaikojensa suhteen, ne eivät juuri koskaan ole erityisen <u>halpoja</u>


Therefore, an analog [[low-pass filter]] is typically applied before sampling to ensure that no components with frequencies greater than half the sample frequency remain. This is called an "[[anti-aliasing]] [[filter]]". The quality of [[analog to digital converter]]s depends critically upon that filter, which is also one of the most expensive components to build, since a poor filter causes phase distortion and other difficulties.
Teoreema toimii myös, kun on tarkoitus vähentää näytteistystaajuutta olemassaolevassa digitaalisessa aineistossa.


The theorem also applies when reducing the sampling frequency of an existing digital signal.
''Harry Nyquist'' laati tämän teoreeman vuonna 1928 ("''Certain topics in telegraph transmission theory''"), mutta vasta vuonna 1949 ''Claude E. Shannon'' todisti sen matemaattisesti.


The theorem was first formulated by [[Harry Nyquist]] in [[1928]] ("''Certain topics in telegraph transmission theory''"), but was only formally proved by [[Claude E. Shannon]] in [[1949]] ("''Communication in the presence of noise''"). Mathematically, the theorem is formulated as a statement about the [[Fourier transform|Fourier transformation]].
Täsmällinen teoreema ei ole tässä tarpeen, sen käytännön seurauksia ovat mm:
* Signaalitaajuus <math>\omega\,</math> on mahdollista kuvata täydellisesti, kunhan sitä näyteistetään vähintään taajuudella <math>2 \omega\,</math>.
** Käytännössä tällä rajalla koetaan vaiheherkkyysongelma, jossa menetetään varmuus tunnistaa signaalin suurin amplitudi
** Käytännössä noin 30-35% näytetaajuudesta on kelvollinen aliasoimaton ylärajataajuus.
* Signaalikaistaleveys <math>\omega\,</math> on mahdollista kuvata täydellisesti, kunhan sitä näyteistetään vähintään taajuudella <math>2 \omega\,</math>
** ... kunhan alias-laskostus ei osu kohdalle.


If a function ''s(x)'' has a Fourier transform ''F''[''s''(''x'')] = ''S''(''f'') = 0 for |''f''| &ge; ''W'', then it is completely determined by giving the value of the function at a series of points spaced 1/(2''W'') apart. The values ''s''<sub>''n''</sub> = ''s''(''n''/(2''W'')) are called the ''samples of s(x)''.
Tunnettu seuraus näytteenottoteoreemasta on, että signaalia ei voi sekä kaistaleveysrajoittaa, että aikarajoittaa (äkkinäinen signaalin loppuminen näkyy leveänä spektrinä.)
<blockquote>
Olettakaamme että on signaali jota näytteistetään Nyquist-taajuutta nopeammin.
Näiden äärellisen monen time-domain vakion pitäisi määrittää koko signaali.
Vastaavasti äärellisen monen time-domain vakion avulla pitäisi olla mahdollista esittää koko kaistaleveysrajoitettu spektri.
Matemaattisesti tämä voidaan esittää vaatimuksena, että trigonometrisellä polynomilla on äärettömän monta nollaa, koska kaistaleveysrajoitetun signaalin pitää olla nolla rajoitetun kaistaleveyden ulkopuolella.
Kuitenkin algebran perusteoreema sanoo, ettei polynomeilla voi olla enempiä nollia kuin niiden kertaluku on.
Tästä ristiriidasta seuraa, että aikarajoitettua ja samalla kaistaleveysrajoitettua signaalia ei voi olla olemassa.
</blockquote>


The minimum sample frequency that allows reconstruction of the original signal, that is 2''W'' samples per unit distance, is known as the [[Nyquist frequency]], (or Nyquist rate). The time inbetween samples is called the [[Nyquist interval]].


If ''S''(''f'') = 0 for |''f''| > ''W'', then ''s''(''x'') can be recovered from its samples by the [[Nyquist-Shannon interpolation formula]].
== Alinäytteistys ==


A well-known consequence of the sampling theorem is that a signal cannot be both [[bandlimited]] and time-limited. To see why, assume that such a signal exists, and sample it faster than the Nyquist frequency. These finitely many time-domain coefficients should define the entire signal. Equivalently, the entire spectrum of the bandlimited signal should be expressible in terms of the finitely many time-domain coefficients obtained from sampling the signal. Mathematically this is equivalent to requiring  that a (trigonometric) polynomial can have infinitely many zeros since the bandlimited signal must be zero on an interval beyond a critical frequency which has infinitely many points. However, it is well-known that polynomials do not have more zeros than their orders due to the [[fundamental theorem of algebra]]. This contradiction shows that our original assumption that a time-limited and bandlimited signal exists is incorrect.
Edellä kerrottu "näytteistys vähintään kaksinkertaisella taajuudella korkeimpaan taajuuteen nähden" on asian tavallisin versio, mutta ei koko totuus.
Täsmälleen ottaenhan teoreema ei puhu korkeimmasta taajuudesta, vaan kaistaleveydestä.
[[Kaistaleveys]] on ylimmän ja alimman hyötysignaalin taajuuden erotus.
Kaistaleveys ja ylin taajuus ovat identtiset vain [[baseband]] signaalilla, eli niillä jotka ovat lähellä [[tasavirta|tasavirtaa]] (nollataajuutta).


==Undersampling==
Alinäytteistys on tavallaan sukua [[aliharmooninen sekoitin|aliharmooniselle sekoittimelle]] joka sisältää näytteistyksen ja sekoittimen aktiivikomponentin kaikki samassa.


It has to be noted that even if the concept of "twice the highest frequency" is the more commonly used idea, it is not absolute. In fact the theorem stands for "twice the ''bandwidth''", which is totally different. [[Bandwidth]] is related with the range between the first frequency and the last frequency that represent the signal. Bandwidth and highest frequency are identical only in [[baseband]] signals, that is, those that go very nearly down to [[direct current|DC]]. This concept led to what is called '''undersampling''', that is very used in [[software-defined radio]].
Alinäytteistys on aktiivisessa käytössä [[softaradio|softaradioissa]].


Imagine that you want to sample all the [[frequency modulation|FM]] commercial radio stations that broadcast in a given area. They broadcast in channels that span from 88 [[MHz]] to 108 MHz, giving a signal with bandwidth of 20 MHz. In the baseband interpretation of the theorem, this would require a sampling frequency more than 216 MHz. In fact, doing [[undersampling]] one is only required to sample at more than 40 MHz, as long as the antenna signal is passed by a bandpass filter to keep the signal in the 88-108 MHz range. Sampling at 44 MHz, the frequency 100 MHz will be reflected as a 12 MHz digital frequency.
Esimerkiksi jos haluat kerätä koko 7-10 MHz taajuuskaistan, sen kaistaleveys on 3 MHz, mutta teoreeman perustulkinnan mukaan sitä pitäisi näytteistää yli 20 MHz tahtiin.
6 MHz näytteistys puolestaan kuvaa taajuusalueen 7-9 MHz taajuuksille 1-3 MHz ja 9-10 MHz taajuuksille 3-2 MHz (käänteiseen järjestykseen!)
11 MHz näytteistys kuvaa 7 MHz signaalin 11-7 = 4 MHz:lle ja 10 MHz signaalin 11-10=1 MHz:lle.


In certain problems, the frequencies of interest are not an interval of frequencies, but perhaps some more interesting set ''F'' of frequencies. Again, the sampling frequency must be proportional to the size of ''F''. For instance, certain [[domain decomposition method]]s fail to converge for the 0th frequency (the constant mode) and some medium frequencies. Then the set of interesting frequencies would be something like 10 Hz to 100 Hz, and 110 Hz to 200 Hz. In this case, one would need to sample at 360 Hz, not 400 Hz, to fully capture these signals.
Asiasta löytyy lisää luettavaa  http://www.analog.com/  sivuilta koskien mm. piiriä AD6620 (laita hakulaatikkoon)
 
==References==
*H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617-644, Apr. 1928.
*C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise," Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949.
 
 
[[Category:Digital signal processing]]
[[Category:Information theory]]
[[Category:Theorems]]

Nykyinen versio 24. marraskuuta 2004 kello 21.54

Tämä artikkeli on sovitettu englanninkielisestä Wikipediasta.

Nyquistin teoreema tai Nyquist-Shannon näytteenottoteoreema on informaatioteorian alan keskeisiä opinkappaleita.

Se tunnetaan myös Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon näytteenottoteoreemana.

Teoreema lausuu (yhdellä tavalla lukien), että muunnettaessa analogista signaalia digitaaliseksi (tai muuten näytteistettäessä signaalia diskreetein aikavälein), silloin näytteenottotaajuuden pitää olla ainakin tuplat korkeimmasta ottosignaalin taajuudesta kyetäkseen rekonstruoimaan alkuperäisen täydellisessä muodossaan.

Jos näytteistystaajuus on tämän rajan alla, silloin alkuperäisen signaalin taajuuskomponentit jotka ovat yli puolen näytteistystaajuuden yläpuolella kohtaavat aliasoinnin (tai "laskostuksen", kuten sitä joskus kutsutaan) ja sen seurauksena kuvautuvat alemmille taajuuksille. (Täsmälleen ottaen tapahtuma on juuri sama, kuin mitä balansoimaton sekoitin tekee taajuusspekreille.) Jos näytteistystaajuus on täsmälleen kaksinkertainen korkeimpaan syötesignaaliin nähden, näytteenoton ja signaalin keskinäinen vaihe-ero vääristää signaalia (huonolla tuurilla näytteistetään nollakohdassa...)

Aliasoinnin ongelmien takia realisoitujen muuntimien eteen laitetaan yleensä alipäästösuotimet, jotka pitävät nämä aliakset poissa häiritsemästä. Koskapa tällaisen anti-alias suodattimen on oltava varsin laadukas mm. ryhmäkulkuaikojensa suhteen, ne eivät juuri koskaan ole erityisen halpoja

Teoreema toimii myös, kun on tarkoitus vähentää näytteistystaajuutta olemassaolevassa digitaalisessa aineistossa.

Harry Nyquist laati tämän teoreeman vuonna 1928 ("Certain topics in telegraph transmission theory"), mutta vasta vuonna 1949 Claude E. Shannon todisti sen matemaattisesti.

Täsmällinen teoreema ei ole tässä tarpeen, sen käytännön seurauksia ovat mm:

  • Signaalitaajuus on mahdollista kuvata täydellisesti, kunhan sitä näyteistetään vähintään taajuudella .
    • Käytännössä tällä rajalla koetaan vaiheherkkyysongelma, jossa menetetään varmuus tunnistaa signaalin suurin amplitudi
    • Käytännössä noin 30-35% näytetaajuudesta on kelvollinen aliasoimaton ylärajataajuus.
  • Signaalikaistaleveys on mahdollista kuvata täydellisesti, kunhan sitä näyteistetään vähintään taajuudella
    • ... kunhan alias-laskostus ei osu kohdalle.

Tunnettu seuraus näytteenottoteoreemasta on, että signaalia ei voi sekä kaistaleveysrajoittaa, että aikarajoittaa (äkkinäinen signaalin loppuminen näkyy leveänä spektrinä.)

Olettakaamme että on signaali jota näytteistetään Nyquist-taajuutta nopeammin. Näiden äärellisen monen time-domain vakion pitäisi määrittää koko signaali. Vastaavasti äärellisen monen time-domain vakion avulla pitäisi olla mahdollista esittää koko kaistaleveysrajoitettu spektri. Matemaattisesti tämä voidaan esittää vaatimuksena, että trigonometrisellä polynomilla on äärettömän monta nollaa, koska kaistaleveysrajoitetun signaalin pitää olla nolla rajoitetun kaistaleveyden ulkopuolella. Kuitenkin algebran perusteoreema sanoo, ettei polynomeilla voi olla enempiä nollia kuin niiden kertaluku on. Tästä ristiriidasta seuraa, että aikarajoitettua ja samalla kaistaleveysrajoitettua signaalia ei voi olla olemassa.


Alinäytteistys

Edellä kerrottu "näytteistys vähintään kaksinkertaisella taajuudella korkeimpaan taajuuteen nähden" on asian tavallisin versio, mutta ei koko totuus. Täsmälleen ottaenhan teoreema ei puhu korkeimmasta taajuudesta, vaan kaistaleveydestä. Kaistaleveys on ylimmän ja alimman hyötysignaalin taajuuden erotus. Kaistaleveys ja ylin taajuus ovat identtiset vain baseband signaalilla, eli niillä jotka ovat lähellä tasavirtaa (nollataajuutta).

Alinäytteistys on tavallaan sukua aliharmooniselle sekoittimelle joka sisältää näytteistyksen ja sekoittimen aktiivikomponentin kaikki samassa.

Alinäytteistys on aktiivisessa käytössä softaradioissa.

Esimerkiksi jos haluat kerätä koko 7-10 MHz taajuuskaistan, sen kaistaleveys on 3 MHz, mutta teoreeman perustulkinnan mukaan sitä pitäisi näytteistää yli 20 MHz tahtiin. 6 MHz näytteistys puolestaan kuvaa taajuusalueen 7-9 MHz taajuuksille 1-3 MHz ja 9-10 MHz taajuuksille 3-2 MHz (käänteiseen järjestykseen!) 11 MHz näytteistys kuvaa 7 MHz signaalin 11-7 = 4 MHz:lle ja 10 MHz signaalin 11-10=1 MHz:lle.

Asiasta löytyy lisää luettavaa http://www.analog.com/ sivuilta koskien mm. piiriä AD6620 (laita hakulaatikkoon)

Noudettu kohteesta ”https://wiki.sral.fi/w/index.php?title=Nyquistin_teoreema&oldid=4801”