Logaritmi

Logaritmi siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä: Tämä on kätevä matemaattinen työkalu jonka kaikkea syvällisyyttä ei tarvitse ymmärtää sen käyttämiseksi.

Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle

Tämä on käänteisfunktio exponenttifunktiolle jolle pätee:

$e^{\ln(x)}=x\,$		kaikille '$x>0\,$
$\ln \left(e^{x}\right)=x\,$		kaikille x:n reaalilukuarvoille.

Toisella tavalla sanoen, logaritmi on bijektio positiivisten (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon.

Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on isomorfismi (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.

Käytännöllinen näkökulma

Logaritmi mahdollistaa muunnokset:

$\log \left(a*b\right)=\log(a)+\log(b)$ $\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$ $\log \left(a^{b}\right)=b*\log(a)$ $\log \left({\sqrt[{b}]{a}}\right)=\log \left(a^{\frac {1}{b}}\right)={\frac {\log(a)}{b}}$

Siis:

• Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien yhteenlaskuksi
• Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi
• Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla (potenssin kertaluku 'b' voi olla mikä tahansa reaaliluku!)
• Logaritmin sisäinen juuren otto (potenssiin korotuksen käänteistoimitus) voidaan muuntaa juurrettavan luvun logaritmin jakolaskuksi juuren kertaluvulla (juuren kertaluku 'b' voi olla nollasta poikkeava reaaliluku.)

Huomaa myös:

• Logaritmin sisäisiä yhteen-/vähennyslaskuja ei saa siirrettyä ulos
• Logaritmin sisäisiä logaritmeja ei saa siirrettyä ulos.

Näiden ansiosta desibeli-käsite on varsin tehokas työkalu.

Logaritmi on varsinaisesti määritelty Napierin luvulle, mutta muunto mille tahansa positiiviselle reaaliselle kantaluvulle $n\,$ on yksinkertaista:

$\log _{n}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(n)}}$