Logaritmi

Logaritmi siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä: Tämä on kätevä matemaattinen työkalu jonka kaikkea syvällisyyttä ei tarvitse ymmärtää sen käyttämiseksi.

Käytännöllinen näkökulma

Logaritmi mahdollistaa muunnokset:

$\log \left(a*b\right)=\log(a)+\log(b)$ $\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$ $\log \left(a^{b}\right)=b*\log(a)$ $\log \left({\sqrt[{b}]{a}}\right)=\log \left(a^{\frac {1}{b}}\right)={\frac {\log(a)}{b}}$

Siis:

• Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien yhteenlaskuksi
• Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi
• Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla (potenssin kertaluku 'b' voi olla mikä tahansa reaaliluku!)
• Logaritmin sisäinen juuren otto (potenssiin korotuksen käänteistoimitus) voidaan muuntaa juurrettavan luvun logaritmin jakolaskuksi juuren kertaluvulla (juuren kertaluku 'b' voi olla nollasta poikkeava reaaliluku.)

Huomaa myös:

• Logaritmin sisäisiä yhteen-/vähennyslaskuja ei saa siirrettyä ulos
• Logaritmin sisäisiä logaritmeja ei saa siirrettyä ulos.

Näiden ansiosta desibeli-käsite on varsin tehokas työkalu mitä voi operoida helposti kynällä ja paperilla pienehköillä luvuilla yhteenlaskien.

Logaritmi on käyttömoottorina myös laskutikun takana. (Laskutikku on se laskentaväline, jolla tehtiin nopeat likiarvoistukset ennen kuin sähköiset laskimet ja tietokoneet tulivat käyttöön.)

Kantalukumuunnos

Logaritmin käsite on varsinaisesti määritelty Neperin luvulle (engl: Napier), mutta muunto mille tahansa positiiviselle reaaliselle kantaluvulle $n\,$ on yksinkertaista:

$\log _{n}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(n)}}=\log _{e}(x)*\left({\frac {1}{\log _{e}(n)}}\right)$

Jälkimäinen muoto kääntää jakolaskun etukäteen laskettavissa olevalla vakiolla kertomiseksi. (Matematiikkakoodeja kirjoittaville vinkiksi.)

Esimerkiksi Shannonin teoreema käyttää logaritmia kantaluvulla 2.

Historiaa

Logaritmien historia alkaa Babylonialaisista pankkiireista, jotka olivat kiinnostuneita korkotaulukoista. Archimedes kirjoitti lukujen kertaluokista (kymmenen potensseista!) ja muodollinen matemaattinen käsittely syntyi 1584 kartanonherra John Napier (suomessa: "Neper") harrasteiden tuloksena, jotka hän julkaisi 1614. Sitten Briggs julkaisi oman versionsa joka perustuu kantalukuun 10 ja tunnetaan nyt Briggsin logaritmina.

Tietokoneet laskevat sisäisesti Napierin "luonnollisia logaritmeja", mutta muunnos 10-kantaiseen Briggsin logaritmiin on helppo: Saatu logaritmiarvo jaetaan luvulla $\log _{e}(10)\approx 2.3025851$. K.o. luku on yleensä ohjelmointikielten matematiikkakirjastoissa annettu vakiona niin ettei sitä tarvitse aina laskea uudestaan.

Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle

Tämä on käänteisfunktio exponenttifunktiolle jolle pätee:

$e^{\ln(x)}=x\,$		kaikille $x>0\,$
$\ln \left(e^{x}\right)=x\,$		kaikille $x\,$:n reaalilukuarvoille.

Toisella tavalla sanoen, logaritmi on bijektio (kaksisuuntainen yksiselitteinen kuvaus) positiivisten (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon.

Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on isomorfismi (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.