Ero sivun ”Logaritmi” versioiden välillä

Radioamatööriwikistä
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
>Oh2mqk
pEi muokkausyhteenvetoa
(siivousta)
 
(5 välissä olevaa versiota toisen käyttäjän tekemänä ei näytetä)
Rivi 1: Rivi 1:
[[Category:Teoria]] __TOC__
'''Logaritmi''' on radioamatöörikäytössä kätevä matemaattinen työkalu. Logaritmin käyttämiseen riittää sen ominaisuuksien (muistisääntöjen) muistaminen.
[[Logaritmi]] siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä:
Tämä on kätevä matemaattinen työkalu jonka kaikkea syvällisyyttä ei tarvitse ymmärtää sen käyttämiseksi.


==Käytännöllinen näkökulma==
==Käytännöllinen näkökulma==
Logaritmi mahdollistaa muunnokset:


[[Logaritmi]] mahdollistaa muunnokset:
:<math>\log\left(a * b\right) = \log(a) + \log(b)</math>
<center><math>\log\left(a * b\right) = \log(a) + \log(b)</math></center>
 
<center><math>\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)</math></center>
:<math>\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)</math>
<center><math>\log\left(a^b\right) = b * \log(a)</math></center>
 
<center><math>\log\left(\sqrt[b]{a}\right) = \log\left(a^{\frac{1}{b}}\right) = \frac{\log(a)}{b}</math></center>
:<math>\log\left(a^b\right) = b * \log(a)</math>
 
:<math>\log\left(\sqrt[b]{a}\right) = \log\left(a^{\frac{1}{b}}\right) = \frac{\log(a)}{b}</math>


Siis:
Siis:
Rivi 21: Rivi 22:


Näiden ansiosta [[desibeli]]-käsite on varsin tehokas työkalu mitä voi operoida helposti
Näiden ansiosta [[desibeli]]-käsite on varsin tehokas työkalu mitä voi operoida helposti
kynällä ja paperilla pienehköillä luvuilla yhteenlaskien.
kynällä ja paperilla pienehköillä luvuilla '''yhteenlaskien'''.
 
[[Logaritmi]] on käyttömoottorina myös laskutikun takana.


==Kantalukumuunnos==
==Kantalukumuunnos==
[[Logaritmi|Logaritmin]] käsite on varsinaisesti määritelty ''Neperin luvulle'' (engl: Napier),
Logaritmin käsite on varsinaisesti määritelty ''Neperin luvulle'' (engl: Napier), mutta muunto mille tahansa positiiviselle reaaliselle kantaluvulle <math>n\,</math> on yksinkertaista:
mutta muunto mille tahansa positiiviselle reaaliselle kantaluvulle <math>n\,</math> on yksinkertaista:
:<math>\log_n(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(n)} = \log_e(x) * \left(\frac{1}{\log_e(n)}\right)</math>
<center><math>
Jälkimäinen muoto kääntää jakolaskun etukäteen laskettavissa olevalla vakiolla kertomiseksi. (Matematiikkakoodeja kirjoittaville vinkiksi.)
\log_n(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(n)}
</math></center>


Esimerkiksi [[Shannonin teoreema]] käyttää logaritmia kantaluvulla 2.
Esimerkiksi [[Shannonin teoreema]] käyttää logaritmia kantaluvulla 2.


==Historiaa==
==Historiaa==
Logaritmien historia alkaa Babylonialaisista pankkiireista, jotka olivat kiinnostuneita
Logaritmien historia alkaa Babylonialaisista pankkiireista, jotka olivat kiinnostuneita korkotaulukoista.  Archimedes kirjoitti lukujen kertaluokista (kymmenen potensseista!) ja muodollinen matemaattinen käsittely syntyi 1584 kartanonherra John Napier (suomessa: "Neper") harrasteiden tuloksena, jotka hän julkaisi 1614. Sitten Briggs julkaisi oman versionsa joka perustuu kantalukuun 10 ja tunnetaan nyt Briggsin logaritmina.
korkotaulukoista.  Archimedes kirjoitti lukujen kertaluokista (kymmenen potensseista!) ja
 
muodollinen matemaattinen käsittely syntyi 1584 kartanonherra John Napier (suomessa: "Neper")
Tietokoneet laskevat sisäisesti Napierin "luonnollisia logaritmeja", mutta muunnos 10-kantaiseen Briggsin logaritmiin on helppo: Saatu logaritmiarvo jaetaan luvulla <math>\log_e(10) \approx 2.3025851</math>. K.o. luku on yleensä ohjelmointikielten matematiikkakirjastoissa annettu vakiona niin ettei sitä tarvitse aina laskea uudestaan.
harrasteiden tuloksena, jotka hän julkaisi 1614. Sitten Briggs julkaisi oman versionsa joka
 
perustuu kantalukuun 10 ja tunnetaan nyt Briggsin logaritmina.
Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm


Tietokoneet laskevat sisäisesti Napierin "luonnollisia logaritmeja", mutta muunnos
==Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle eksponenttifunktiolle==
10-kantaiseen Briggsin logaritmiin on helppo.


Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason
Tämä on ''käänteisfunktio'' ''eksponenttifunktiolle'' jolle pätee:
matematiikan kursseilla, tai vaikkapa:  
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm


==Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle==
:<math>e^{\ln(x)} = x\,</math> kaikille <math>x > 0</math>
:<math>\ln\left(e^x\right) = x\,</math> kaikille <math>x\,</math>:n reaalilukuarvoille.


Tämä on ''käänteisfunktio'' ''exponenttifunktiolle'' jolle pätee:
Toisella tavalla sanoen, logaritmi on ''bijektio'' (kaksisuuntainen yksiselitteinen kuvaus) positiivisten (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon.
<center>
{|
|-
|align="right"|<math>e^{\ln(x)} = x\,</math>
|&nbsp;&nbsp;
|align="left"|kaikille '<math>x > 0\,</math>
|-
|align="right"|<math>\ln\left(e^x\right) = x\,</math>
|&nbsp;&nbsp;
|align="left"|kaikille ''x'':n reaalilukuarvoille.
|-
|}
</center>


Toisella tavalla sanoen, logaritmi on ''bijektio'' positiivisten
Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on ''isomorfismi'' (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.
(nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen
joukkoon.


Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on ''isomorfismi''
[[Luokka:Teoria]]
(yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta)
kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.

Nykyinen versio 2. huhtikuuta 2022 kello 19.45

Logaritmi on radioamatöörikäytössä kätevä matemaattinen työkalu. Logaritmin käyttämiseen riittää sen ominaisuuksien (muistisääntöjen) muistaminen.

Käytännöllinen näkökulma

Logaritmi mahdollistaa muunnokset:

Siis:

  • Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien yhteenlaskuksi
  • Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi
  • Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla (potenssin kertaluku 'b' voi olla mikä tahansa reaaliluku!)
  • Logaritmin sisäinen juuren otto (potenssiin korotuksen käänteistoimitus) voidaan muuntaa juurrettavan luvun logaritmin jakolaskuksi juuren kertaluvulla (juuren kertaluku 'b' voi olla nollasta poikkeava reaaliluku.)

Huomaa myös:

  • Logaritmin sisäisiä yhteen-/vähennyslaskuja ei saa siirrettyä ulos
  • Logaritmin sisäisiä logaritmeja ei saa siirrettyä ulos.

Näiden ansiosta desibeli-käsite on varsin tehokas työkalu mitä voi operoida helposti kynällä ja paperilla pienehköillä luvuilla yhteenlaskien.

Kantalukumuunnos

Logaritmin käsite on varsinaisesti määritelty Neperin luvulle (engl: Napier), mutta muunto mille tahansa positiiviselle reaaliselle kantaluvulle on yksinkertaista:

Jälkimäinen muoto kääntää jakolaskun etukäteen laskettavissa olevalla vakiolla kertomiseksi. (Matematiikkakoodeja kirjoittaville vinkiksi.)

Esimerkiksi Shannonin teoreema käyttää logaritmia kantaluvulla 2.

Historiaa

Logaritmien historia alkaa Babylonialaisista pankkiireista, jotka olivat kiinnostuneita korkotaulukoista. Archimedes kirjoitti lukujen kertaluokista (kymmenen potensseista!) ja muodollinen matemaattinen käsittely syntyi 1584 kartanonherra John Napier (suomessa: "Neper") harrasteiden tuloksena, jotka hän julkaisi 1614. Sitten Briggs julkaisi oman versionsa joka perustuu kantalukuun 10 ja tunnetaan nyt Briggsin logaritmina.

Tietokoneet laskevat sisäisesti Napierin "luonnollisia logaritmeja", mutta muunnos 10-kantaiseen Briggsin logaritmiin on helppo: Saatu logaritmiarvo jaetaan luvulla . K.o. luku on yleensä ohjelmointikielten matematiikkakirjastoissa annettu vakiona niin ettei sitä tarvitse aina laskea uudestaan.

Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle eksponenttifunktiolle

Tämä on käänteisfunktio eksponenttifunktiolle jolle pätee:

kaikille
kaikille :n reaalilukuarvoille.

Toisella tavalla sanoen, logaritmi on bijektio (kaksisuuntainen yksiselitteinen kuvaus) positiivisten (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon.

Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on isomorfismi (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.