Logaritmi

Logaritmi siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä: Tämä on kätevä matemaattinen työkalu jonka kaikkea syvällisyyttä ei tarvitse ymmärtää sen käyttämiseksi.

Käytännöllinen näkökulma

Logaritmi mahdollistaa muunnokset:

$\log \left(a*b\right)=\log(a)+\log(b)$ $\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$ $\log \left(a^{b}\right)=b*\log(a)$ $\log \left({\sqrt[{b}]{a}}\right)=\log \left(a^{\frac {1}{b}}\right)={\frac {\log(a)}{b}}$

Siis:

• Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien yhteenlaskuksi
• Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi
• Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla (potenssin kertaluku 'b' voi olla mikä tahansa reaaliluku!)
• Logaritmin sisäinen juuren otto (potenssiin korotuksen käänteistoimitus) voidaan muuntaa juurrettavan luvun logaritmin jakolaskuksi juuren kertaluvulla (juuren kertaluku 'b' voi olla nollasta poikkeava reaaliluku.)

Huomaa myös:

• Logaritmin sisäisiä yhteen-/vähennyslaskuja ei saa siirrettyä ulos
• Logaritmin sisäisiä logaritmeja ei saa siirrettyä ulos.

Näiden ansiosta desibeli-käsite on varsin tehokas työkalu.

Kantalukumuunnos

Logaritmin käsite on varsinaisesti määritelty Neperin luvulle (engl: Napier), mutta muunto mille tahansa positiiviselle reaaliselle kantaluvulle $n\,$ on yksinkertaista:

$\log _{n}(x)={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(n)}}$

Historiaa

Logaritmien historia alkaa Babylonialaisista pankkiireista, jotka olivat kiinnostuneita korkotaulukoista. Archimedes kirjoitti lukujen kertaluokista (kymmenen potensseista!) ja muodollinen matemaattinen käsittely syntyi 1584 kartanonherra John Napier (suomessa: "Neper") harrasteiden tuloksena, jotka hän julkaisi 1614. Sitten Briggs julkaisi oman versionsa joka perustuu kantalukuun 10 ja tunnetaan nyt Briggsin logaritmina.

Tietokoneet laskevat sisäisesti Napierin "luonnollisia logaritmeja", mutta muunnos 10-kantaiseen Briggsin logaritmiin on helppo.

Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle

Tämä on käänteisfunktio exponenttifunktiolle jolle pätee:

$e^{\ln(x)}=x\,$		kaikille '$x>0\,$
$\ln \left(e^{x}\right)=x\,$		kaikille x:n reaalilukuarvoille.

Toisella tavalla sanoen, logaritmi on bijektio positiivisten (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon.

Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on isomorfismi (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.