Ero sivun ”Logaritmi” versioiden välillä
>Oh2mqk Ei muokkausyhteenvetoa |
>Oh2mqk p (typo korjaus) |
||
Rivi 1: | Rivi 1: | ||
[[Category:Teoria]] __TOC__ | [[Category:Teoria]] __TOC__ | ||
[[Logaritmi]] siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä. | [[Logaritmi]] siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä: | ||
Syvempiä katsauksia | Tämä on kätevä matemaattinen työkalu jonka kaikkea syvällisyyttä ei tarvitse ymmärtää sen käyttämiseksi. | ||
Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason | |||
matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: | |||
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm | http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm | ||
=='ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle== | ==Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle== | ||
Tämä on ''käänteisfunktio'' ''exponenttifunktiolle'' jolle pätee: | Tämä on ''käänteisfunktio'' ''exponenttifunktiolle'' jolle pätee: | ||
Rivi 24: | Rivi 27: | ||
(nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen | (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen | ||
joukkoon. | joukkoon. | ||
Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on ''isomorfismi'' positiivisten | |||
reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen | Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on ''isomorfismi'' | ||
yhteenlaskuryhmään. | (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) | ||
kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään. | |||
==Käytännöllinen näkökulma== | ==Käytännöllinen näkökulma== | ||
[[Logaritmi]] mahdollistaa | [[Logaritmi]] mahdollistaa muunnokset: | ||
<center><math> | <center><math>\log\left(a * b\right) = \log(a) + \log(b)</math></center> | ||
\log\left(\frac{a | <center><math>\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)</math></center> | ||
</math></center> | <center><math>\log\left(a^b\right) = b * \log(a)</math></center> | ||
<center><math>\log\left(\sqrt[b]{a}\right) = \log\left(a^{\frac{1}{b}}\right) = \frac{\log(a)}{b}</math></center> | |||
<center><math> | |||
\log\left(a^b\right) = | Näiden ansiosta [[desibeli]]-käsite on varsin tehokas työkalu. | ||
</math></center> | |||
Näiden ansiosta [[desibeli]]-käsite on varsin tehokas. | |||
Siis: | Siis: | ||
* Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen | * Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien yhteenlaskuksi | ||
* Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi | * Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi | ||
* Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla | * Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla |
Versio 21. marraskuuta 2004 kello 23.22
Logaritmi siinä määrin kuin asiaa pitää ymmärtää radioamatöörikäytössä: Tämä on kätevä matemaattinen työkalu jonka kaikkea syvällisyyttä ei tarvitse ymmärtää sen käyttämiseksi.
Syvempiä katsauksia ja yleistyksiä lukio- ja yliopistotason matematiikan kursseilla, tai vaikkapa: http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
Määritelmä: 'ln' on käänteisfunktio yleiselle exponenttifunktiolle
Tämä on käänteisfunktio exponenttifunktiolle jolle pätee:
kaikille ' | ||
kaikille x:n reaalilukuarvoille. |
Toisella tavalla sanoen, logaritmi on bijektio positiivisten (nollaa suurempien) reaalilukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon.
Vielä toisella tavalla sanoen kyseessä on isomorfismi (yhdenmukaisuuskuvaus) positiivisten reaalilukujen (matemaattisesta) kertolaskuryhmästä kaikkien reaalilukujen yhteenlaskuryhmään.
Käytännöllinen näkökulma
Logaritmi mahdollistaa muunnokset:
Näiden ansiosta desibeli-käsite on varsin tehokas työkalu.
Siis:
- Logaritmin sisäinen kertolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien yhteenlaskuksi
- Logaritmin sisäinen jakolasku voidaan muuntaa sen tekijöiden logaritmien vähennyslaskuksi
- Logaritmin sisäinen potenssiin korotus voidaan muuntaa korotettavan luvun logaritmin kertolaskuksi potenssin arvolla
- Logaritmin sisäinen juuren otto (potenssiin korotuksen käänteistoimitus) voidaan muuntaa juurrettavan luvun logaritmin jakolaskuksi juuren kertaluvulla
Logaritmi on varsinaisesti määritelty Napierin luvulle, mutta muunto kantaluvulle on yksinkertaista: