Ballistiikka

Mihin radioamatööri tarvitsee ballistiikkaa?

• Singotakseen heittopainon onnistuneesti puuhun
• Tehdäkseen jotain muuta, jolla ei ole varsinaisesti mitään tekemistä radioamatöörien normaalien puuhien kanssa.

Ballistinen matematiikka

Perusyhtälöt pätevät, kun ammuksen aerodynamiikkaa ei tarvitse ottaa huomioon.

Ballistiikan perusyhtälöt:

$x=v_{0}\cos \left(\alpha \right)t$

$y=v_{0}\sin \left(\alpha \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

missä:

$\alpha$: ammuksen lähtösuunnan korotuskulma suhteessa horisonttiin

$g$: paikallinen painovoimakiihtyvyys (9.81 m/s²)

$t$: aika

$v_{0}$: ammuksen lähtönopeus

Ammuksen lentoaika (tasamaalla) saadaan hakemalla tilanne: y=0

$v_{0}\sin \left(\alpha \right)t={\frac {1}{2}}gt^{2}$

supistetaan yhteinen muuttuja: t

$v_{0}\sin \left(\alpha \right)={\frac {1}{2}}gt$

ja ratkaistaan t:n suhteen:

$t={\frac {2v_{0}\sin \left(\alpha \right)}{g}}$

Lentoaikaa määrää siis käytännössä ammuntakulma ja lähtönopeus.

Ammuksen kantama on perusyhtälön x lentoajan hetkellä t.

Jos on ammuttu suoraan ylös ja saatu ammuksen kokonaislentoaika, voidaan lähtönopeus määrittää:

$v_{0}={\frac {gt}{2\sin \left(\alpha \right)}}$

Ammuksen maksimi lentokorkeus on se, jossa pystysuuntaisen liikenopeuden aikaderivaatta kääntyy negatiiviseksi ( = ammus alkaa pudota nopeammin, kuin sen ylöspäin suuntautuva vauhti on sitä kuljettanut.)

Tämä tapahtuu puolessa lentoajasta ja siitä eteenpäin ammus putoaa kiihtyvällä vauhdilla kohti maata:

$h_{max}={\frac {1}{2}}g\left({\frac {1}{2}}t\right)^{2}={\frac {1}{8}}gt^{2}$

tai käyttämällä t:n tilalla v₀:n aikayhtälöä:

$h_{max}={\frac {{v_{0}}^{2}\left(\sin \alpha \right)^{2}}{2g}}$

Rekyyli

Kun massaa m₁ potkitaan voimalla F, se saa nopeuden v₁. Tämä sama voima kohdistuu myös aseeseen, josta ammusta singotaan ulos ja aseen massan ollessa m₂ saadaan aseen vastakkaiseen suuntaan tapahtuvaksi liikenopeudeksi:

$v_{2}={\sqrt {\frac {m_{1}}{m_{2}}}}v_{1}$

Kun ammus kiihdytetään nopeuteen v matkalla s ja ammuksen massa on m:

• Kiihtyvyys on: $a={\frac {v^{2}}{2s}}$
• Voima jolla kiihdytetään on: $F=ma$
• Aika jossa kiihdytys tapahtuu on: $t={\frac {2s}{v}}$
• Työ joka tehdään kiihdytyksessä: $P=Ft=mv$

Esimerkki

Suoraan ylös ammutulle ammukselle on mitattu lentoajaksi 10.2 sekuntia:

$v_{0}={\frac {gt}{2}}={\frac {9.81\cdot 10.2}{2}}=50.03m/s$

$h_{max}={\frac {1}{8}}9.81\cdot 10.2^{2}=127.6m$

Ammuksen massa on 60 grammaa ja aseen massa 100 kilogrammaa. Aseen rekyyliliikenopeus on:

${\sqrt {\frac {0.060}{100}}}50m/s=1.2m/s$

Aseen putken pituus on 1.5 metriä, jolloin ammuksen kiihtyvyys on:

${\frac {50^{2}}{2\cdot 1.5}}=833m/s^{2}\approx 83g$

Aika jonka ammus on putkessa on:

${\frac {2\cdot 1.5}{50}}=60ms$

Energia joka ammukseen on sijoitettu on sen kineettinen energia:

${\frac {1}{2}}mv^{2}=0.5\cdot 0.060\cdot 50^{2}=75Joulea$

Aerodynamiikan vaikutukset

TODO: TARKASTETTAVA!

Oletetaan, että ammus ei ole V1 raketin tapainen siivillä varustettu laite, vaan jokin symmetrinen, kuten pallo..

Aerodynamiikka vaikuttaa ensisijaisesti nopeutta (v₀) pienentävästi. Tämä aikaansaa todellisen lentoradan vaipumisen ideaalimallin paraabelin alle.

Nopeuksilla jotka ovat selkeästi alle äänennopeuden, aerodynaaminen indusoitunut vastus riippuu nopeudesta: $F_{ind}=\rho AC_{d}v^{2}$. Missä:

• $\rho$ (rho) on ilman tiheys (1.225 kg/m³ @ h = 0 km, 0°C)
• C_d on ilmanvastuskerroin
• A: on kappaleen poikkipinta-ala kohtisuoraan virtauksen (liikkeen) suhteen
• v: on kappaleen nopeus

Lentävän kappaleen kineettinen energia on puolestaan: $E_{kin}={\frac {1}{2}}mv^{2}$.

Kun indusoituneen vastuksen tuottama energiahukka on syönyt pois kaiken vaakaliikkeen, ammuksen liike on enää pystysuoraa ja siinä tullaan rajanopeusyhtälöön jonka määrittää tasapaino:

$F=mg$ vs. $F_{ind}=\rho AC_{d}v^{2}$

josta:

$mg=\rho AC_{d}v^{2}$

ja edelleen:

$v_{max}={\sqrt {\frac {mg}{\rho AC_{d}}}}$

silloin ammuksen potentiaalienergiasta tuleva nopeuden lisäys rajoittuu ilmanvastukseen.

HUOMAA: Em. yhtälö pätee kaikkiin rajanopeudella vajoaviin asioihin - laskuvarjot, tennispallot, jne.. Se pätee myös vedessä tapahtuvaan vajoamiseen, ei vain ilmaan.